合同式
フィボナッチ数列において, 第 𝒑 項の隣には必ず一個の 𝒑 の倍数が現れる. その項の番号を 𝒑 - ε とすれば, 法 𝒑 に従って, $$ \frac{F_{p-\epsilon}}p\equiv\frac{1}{\,5\,}\sum_1^{p-1}\frac{(-1)^{n-1}}n\binom{2n}n.$$ 但だし, 𝒑 は 2 でも 5 でもない素…
非負の整数 𝒏 にたいし, 線型漸化式によって定義される多項式列, \begin{align} (L_n)=2,\ x,\ x^2+2,\ x^3+3x,\ \ldots\\ A,\ B,\ xB+A,\ \ldots \end{align} に関して, 素数の法 𝒑 の下で, 𝑳𝒑 ≡ 𝒙ᵖ が成りたつ.
〔 Hasse-Minkowski の定理, 局所大域原理〕 有理数を係数とする (斉次対角) 二次方程式が非自明有理数解を持つことは, それがあらゆる素数 𝒑 について非自明 𝒑 進数解を有し, かつ非自明実数解を有することと同値である.
〔 Ostrowski の定理〕あらゆる有理数上の絶対値は, 自明なる絶対値, 符号無視の絶対値, 或る素数に対応する 𝒑 進絶対値の何れか一個と同値である.
〔 Gauss-Legendre の三平方和定理〕正の整数 𝒏 が三つの平方数の和に表されるための必要充分条件は, 𝒏 から 4 を成るべく多く抽出して 𝒏 = 4ᵏℓ と書いたときに, \begin{align} \ell\not\equiv7\ \ (\mathrm{mod}.8) \end{align} になることである.
〔 Gauss-Legendre の三平方和定理〕正の整数 𝒏 が三つの平方数の和に表されるための必要充分条件は, 𝒏 から 4 を成るべく多く抽出して 𝒏 = 4ᵏℓ と書いたときに, \begin{align} \ell\not\equiv7\ \ (\mathrm{mod}.8) \end{align} になることである.
Fibonacci 数列の正の部分 \begin{align}1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots\end{align} に現れる平方数は 1 と 144 のみである.
3 で割って 1 余る素数は無数に存在する.
Fibonacci 数列の第 𝒑 項が 𝒑 の倍数に成るような素数 𝒑 は 5 のみに限る.
Fibonacci 数列の第 𝒑 項が 𝒑 の倍数になるような素数 𝒑 は 5 のみに限る.
〔フェルマの二平方和定理, 直角三角形の基本定理〕 奇素数 𝒑 について, 𝒑 がある二つの平方数の和で表せることと 𝒑 が 4 で割って 1 余ることは同値である.