フィボナッチ商を表示する有限級数

フィボナッチ数列において, 第 𝒑 項の隣には必ず一個の 𝒑 の倍数が現れる. その項の番号を 𝒑 - ε とすれば, 法 𝒑 に従って, $$ \frac{F_{p-\epsilon}}p\equiv\frac{1}{\,5\,}\sum_1^{p-1}\frac{(-1)^{n-1}}n\binom{2n}n.$$

但だし, 𝒑 は 2 でも 5 でもない素数を表すものとします.

この記事は以下を目標として記したものです.

円分体の完備化を定義して, 対数函数の性質を調べ, 有限級数の計算に応用すること.

前提知識

$\ 1\$ の $\ n\$ 乗根, 指数と対数の冪べき級数展開, $\ p\$ 進数

前提
Fibonacci 商
証明
文献

前提

以前に本ブログにて取りあつかいました $\ p\$ 進数の理論を援用します. その上で, 一層大きな代数体である円分体 $\ \mathbb{Q}(\zeta_p)\$ の完備化を実行しなければなりません.

yu200489144.hatenablog.com

円分体

　§ 1.1.1　 $\ p\$ を $\ 3\$ 以上なる素数として固定し, 次のように, $\ 1\$ の原始 $\ p\$ 乗根を $\ \zeta\$ と置きます. \begin{align} \zeta=\exp{\left(\frac{2\pi}{p}\sqrt{-1}\right)}. \end{align} 有理数体 $\ \mathbb{Q}\$ に新しく $\ \zeta\$ を添加して, 有理数および $\ \zeta\$ の加減乗除 *1によって造られる数, $\ 1-\zeta\$ や $\ \zeta^{-1}\$ 等などを全て含めた集合を, $\ \mathbb{Q}(\zeta)\$ と書きます. そうしますと, 集合 $\ \mathbb{Q}(\zeta)\$ は体になるのみでなく, 広く知られているように次の関係式が成りたちます. \begin{align} \mathbb{Q}(\zeta)=\mathbb{Q}+\zeta\mathbb{Q}+\cdots+\zeta^{p{-}2}\mathbb{Q}. \end{align} この $\ \mathbb{Q}(\zeta)\$ を円分体といいます. 円分体の要素を右辺の形式に表す方法は, それぞれにたいして, 唯ただ一通りに限り存在します*2.

表示式に $\ \zeta^p\mathbb{Q}\$ あるいはそれよりも高い冪べき乗を加える必要のない理由は, $\ \zeta\$ が $\ 1\$ の $\ p\$ 乗根であり, $\ \zeta^p\$ が整数 $\ 1\$ に置きかえられるからであります. 同様に $\ \zeta^{p{-}1}\mathbb{Q}\$ を足す必要がないのは, \begin{align} 1+\zeta+\cdots+\zeta^{p{-}1}=0 \end{align} という関係式があるからです.

　§ 1.1.2　次に, 番号 $\ j=0,\$ $1,\$ $\ldots\$ $p-1\$ のそれぞれについて, 次の三条件に従って函数 $\ \sigma_j\;\colon\;\mathbb{Q}(\zeta)\longrightarrow\mathbb{Q}(\zeta)\$ を導入します.
$\ (1)\$ つねに $\ \sigma_j(a+b)=\sigma_j(a)+\sigma_j(b)\$ であり, かつ, $\ \sigma_j(ab)=\sigma_j(a)\sigma_j(b)$ . また, $\ \sigma_j(1)=1\$ である.
$\ (2)\$ $\ a\$ が有理数であるならば, $\ \sigma_j(a)=a\$ である.
$\ (3)\$ $\ \sigma_j(\zeta)=\zeta^j\$ である.
詰まり, 円分体の要素 \begin{align} a_0+a_1\zeta+\cdots+a_{p{-}2}\zeta^{p{-}2} \end{align} に $\ \sigma_j\$ を乗じた結果を \begin{align} a_0+a_1\zeta^j+\cdots+a_{p{-}2}\zeta^{j(p{-}2)} \end{align} にするということです. 式中の文字 $\ a_i\$ はそれぞれ有理数を表してあります.

　§ 1.1.3　円分体の元 $\ \alpha\$ にたいするトレースおよびノルムとは, 次式のことをいいます. $$ \mathrm{Tr}(\alpha)=\sum_{0\lt j\lt p}\sigma_j(\alpha),\quad\mathrm{N}(\alpha)=\prod_{0\lt j\lt p}\sigma_j(\alpha). $$ これら総和と乗積とは, 函数 $\ \sigma_j\$ を施しても変化の起こらない式であります. このことから, $\ \alpha\$ のトレースおよびノルムを $\ \zeta\$ から $\ \zeta^{p-1}\$ までの一次結合に表したとき, 各項の係数はすべて同じであり, これらは有理数体の元げんであることが判ります. 加えて写像 $\ \sigma_j\$ の性質から, トレースとノルムについて次の性質が見つけられます. \begin{align} \mathrm{Tr}(\alpha+\beta)&=\mathrm{Tr}(\alpha)+\mathrm{Tr}(\beta),\\ \mathrm{N}(\alpha\beta)&=\mathrm{N}(\alpha)\mathrm{N}(\beta). \end{align} 要約すると, トレースの和は和のトレースであり, ノルムの積は積のノルムに等しいということであります.

　§ 1.1.4　円分体 $\ k=\mathbb{Q}(\zeta)\$ は有理数の集合 $\ \mathbb{Q}\$ の拡大体に当たりますが, この拡大を通じて, 有理整数 $\ \mathbb{Z}\$ の範囲にもまた拡張がおこなわれ, 新しい整数の集合は, 次の式によって表されます. \begin{align} \mathbb{Z}[\zeta]=\mathbb{Z}+\zeta\mathbb{Z}+\cdots+\zeta^{p{-}2}\mathbb{Z}. \end{align} この集合は, 複素数の加法と乗法とに関して閉じたものでありますから, 環の構造を持ちます. これを $\ k\$ の整数環といい, $\ \mathscr{O}=\mathbb{Z}[\zeta]\$ と書きます. 環 $\ \mathscr{O}\$ の要素にたいしては, ノルムの値は $\ \mathscr{O}\cap\mathbb{Q}\$ の要素であり, 有理整数になります. 通常の整数と同じように, 環 $\ \mathscr{O}\$ の元 $\ a,\$ $b\$ について商 $\ a/b\$ が $\ \mathscr{O}\$ に属するとき, $\ a\$ は $\ b\$ により割りきれる, $\ b\$ は $\ a\$ の約元であるといい, \begin{align} b\mid a \end{align} と表します. そのとき, 必ず有理整数の環 $\ \mathbb{Z}\$ の上でも, ノルムの整除関係 $\ \mathrm{N}(b)\mid\mathrm{N}(a)\$ が成りたちます.

　§ 1.1.5　また, $\ \mathscr{O}\$ における $\ 1\$ の約元, 即すなわち $\ a^{-1}\in\mathscr{O}\$ を充たす元 $\ a\in\mathscr{O}\$ を単数と呼びます. 数 $\ a\in\mathscr{O}\$ が単数であるための同値条件は, ノルムについて $\ \mathrm{N}(a)=\pm1\$ の成立することであって, 単数と単数とを掛けた積は必ずまた単数になります. 円分体の元 $\ \alpha\$ と $\ \beta\$ が互いに単数倍の関係にあるとき, 二個は同伴な元といって, これを $\ \alpha\sim\beta\$ と表します. 同伴な二数の間では, 整除についての性質が著しく似るものでありますから, 殆ほとんど区別の要ようがありません.

　§ 1.1.6　ここで, 整数環の数 $\ \pi=1-\zeta\$ のノルムを計算してみることに致しましょう. 先ず $\ 1\$ の代わりに不定元 $\ X\$ を用いて, 多項式の計算をすると, \begin{align} &(X-\zeta)(X-\zeta^2)\cdots(X-\zeta^{p{-}1})\\=\;&\frac{X^p-1}{X-1}\\=\;&1+X+\cdots+X^{p{-}1}. \end{align} ここに $\ X=1\$ を代入すれば $\ \mathrm{N}(\pi)=p\$ が得られます. 次に, 整数 $\ k=1,\$ $2,\$ $\ldots\$ $p{-}1\$ にたいして, 二数 $\ 1-\zeta\$ と $\ 1-\zeta^k\$ との関係を示すために, これらの比を考えるとき, \begin{align} \frac{1-\zeta^k}{1-\zeta}=1+\zeta+\cdots+\zeta^{k{-}1}\in\mathscr{O} \end{align} であり, また分子と分母とを交替しても, $\ kg\equiv1\ \ (\mathrm{mod}.p)\$ を充たす整数 $\ g\$ について, \begin{align} \frac{1-\zeta}{1-\zeta^k}=1+\zeta^k+\cdots+\zeta^{k(g-1)}\in\mathscr{O}. \end{align} 故ゆえに $\ (1-\zeta^k)/(1-\zeta)\$ は単数であって, それらの乗積 $\ \mathrm{N}(1-\zeta)/(1-\zeta)^{p{-}1}\$ もまた単数であります. ここから得られるのは, $\ p\sim\pi^{p{-}1}\$ という同伴式であります. この式は, 拡張された整数の中において, 素数 $\ p\$ が一つの数の冪べきに分解する様子を表しています.

　§ 1.1.7　然しかも, 分解に使われる数 $\ \pi\$ は, 環 $\ \mathscr{O}\$ にあって当まさに素数のような役目を果たします (→素元). 即ち, $\ \pi\$ が円分体の整数の積 $\ ab\$ を整除するとき, $\ \pi\$ は $\ a\$ と $\ b\$ との少なくともどちらかを整除することが証明されるのであります. 円分体の整数\begin{align} \alpha=a_0+a_1\zeta+\cdots+a_{p-2}\zeta^{p-2}\ \ \in\mathscr{O} \end{align} を「法 $\ \mathrm{mod}.\pi\$ において還元した剰余」に当たる数 $\ R(\alpha)\$ を, \begin{align} R(\alpha)=a_0+a_1+\cdots+a_{p-2}\ \ \in\mathbb{Z} \end{align} の通りに定義します. そのとき,
$\ (1)\$ つねに $\ R(\alpha)-\alpha\$ は $\ \pi\$ の倍元であり,
$\ (2)\$ つねに $\ R(\alpha+\beta)=R(\alpha)+R(\beta)\$ および $\ R(\alpha\beta)\equiv R(\alpha)R(\beta)$ $\ \ (\mathrm{mod}.p)\$ が成りたつのが判ります.
由よって, 積 $\ ab\$ が $\ \pi\$ の倍元であるとすれば, 法 $\ p\$ の下で $\ R(ab)\equiv0\$ が成立して, $\ R(a)\$ と $\ R(b)\$ とのどちらかは $\ p\$ の倍数であることを要しますが, $\ (1)\$ によると, これは $\ a\$ と $\ b\$ との何いずれかが, $\ \pi\$ の倍元なることを意味するものです.

同じことですが, 環の同型 \begin{align} \mathscr{O}/\pi\mathscr{O}\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{align} において, $\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\$ は整域であることから $\ \pi\mathscr{O}\subset\mathscr{O}\$ は素イデアルでなくてはならず, その生成元である $\ \pi\$ は素元となることが判ります. この事を初等的に述べると上のようになります.

𝝅 進数 (𝔭 進数)

　§ 1.2.1　 $\ a\$ を円分体の整数としますと, 数列 \begin{align} a,\ a/\pi,\ a/\pi^2,\ \ldots \end{align} は或る項を堺として, 左側が皆みな円分体の整数に, 右側が皆な円分体の非整数になります. 何故なぜならば, 或る項 $\ a/\pi^{n+1}\$ が整数であるとすると $\ (a/\pi^{n+1})\pi\$ もまた整数であり, かつ対偶として, $\ a/\pi^n\$ が整数でなければ, $\ a/\pi^{n+1}\$ もまた整数でないからであります. $\ \pi^n\mid a\$ と $\ \pi^{n+1}\nmid a\$ とを同時に充たす非負の整数 $\ n\$ の $\ 1/(p-1)\$ 倍の数を $\ v_\pi(a)\$ と表して, これを $\ \pi\$ 進付値といいます. $\ \pi\$ 進付値は整数のみに限らず, 他の円分体の元 $\ \alpha=a/b\$ $(a\in\mathscr{O},\$ $b\in\mathbb{Z})\$ にたいしても, \begin{align} v_{\pi}(\alpha)=v_{\pi}(a)-v_{\pi}(b) \end{align} のように定義されるものであります*3. 但ただし $\ \alpha=0\$ は例外になりますから, 特別に $\ v_{\pi}(0)=\infty\$ を形式的な値として定めます.

　§ 1.2.2　ここから, 円分体の元 $\ x\$ の $\ \pi\$ 進絶対値が構成されます. \begin{align} |x|_{\pi}=p^{-v_{\pi}(x)}. \end{align} $\ \pi\$ が素元であることに従って, 次の性質が現れます.
$\ (1)\$ $\ |x|_{\pi}=0\Longleftrightarrow x=0$ .
$\ (2)\$ $\ |xy|_{\pi}=|x|_{\pi}|y|_{\pi}$ .
$\ (3)\$ $\ |x+y|_{\pi}\leqslant\max\{|x|_{\pi},|y|_{\pi}\}\leqslant|x|_{\pi}+|y|_{\pi}$ .

　§ 1.2.3　集合 $\ k=\mathbb{Q}(\zeta)\$ においても, 従来の実数と同じように, 絶対値 $\ |\cdot|_{\pi}\$ に準拠した収束列および Cauchy 列 (コーシー列) の定義が与えられ, その完備化をおこなうことができます. $\ k\$ 内のあらゆる Cauchy 列を集めて, その集合を $\ \mathfrak{R}\$ とし, もってゼロ列の全体を \begin{align} \mathfrak{m}=\{(a_n)\in\mathfrak{R}\mid a_n\to0\} \end{align} と置きます. 二本の Cauchy 列 $\ x=(x_n)\$ と $\ y=(y_n)\$ とにたいし和および積を定義して, \begin{align} x+y=(x_n+y_n),\quad xy=(x_ny_n) \end{align} とすれば, $\ \mathfrak{R}\$ は環になるとともに, その中で部分集合 $\ \mathfrak{m}\$ が次の特徴を現します.
$\ (1)\$ $\ (0,0,0,\ldots)\in\mathfrak{m}$ .
$\ (2)\$ $\ x,\ y\in\mathfrak{m}\Longrightarrow x\pm y\in\mathfrak{m}$ .
$\ (3)\$ $\ r\in\mathfrak{R},\ x\in\mathfrak{m}\Longrightarrow rx\in\mathfrak{m}$ .
$\ (4)\$ $\ r\in\mathfrak{R}\$ がゼロ列でなければ, $\ r_ns_n\to1\$ を充たす $\ s\in\mathfrak{R}\$ が存在する.
これら故に, 剰余環 \begin{align} \mathbb{Q}_p(\zeta)=\mathfrak{R}/\mathfrak{m} \end{align} の $\ 0\$ でない各々の要素は乗法逆元を保有し, 全体として体を成します. 円分体の要素 $\ x\$ を定数列 $\ (x,\ x,\ x,\ \ldots)\$ と同列に見るならば, $\ \mathbb{Q}(\zeta)\subset\mathbb{Q}_p(\zeta)\$ の関係があり, 然も $\ \mathbb{Q}_p(\zeta)\$ は距離空間として完備なものであります (→ $\ p\$ 進数の記事, 命題 3.10 と同様). これを $\ \pi\$ 進数体と名付けます. 但だし, $\ \pi\$ 進数体上の距離とは, 元々円分体に付いていた距離を拡張して, \begin{align} d_{\pi}({(x_n),(y_n)})=\lim_{n\to\infty}|x_n-y_n|_{\pi} \end{align} により導入される函数を考えるものです.

　§ 1.2.4　次に, $\ \mathbb{Q}_p(\zeta)\$ の中に \begin{align} \mathbb{Z}_p[\zeta]=\{x\in\mathbb{Q}_p(\zeta)\mid|x|_{\pi}\leqslant1\} \end{align} という領域を区切れば, § 1.2.2 の不等式 $\ (3)\$ のために, この集合は加法乗法について閉であり, $\ \pi\$ 進数体の部分環となります. 一般の場合に倣って, これからは $\ K=\mathbb{Q}_p(\zeta)\$ と記し, $\ \mathcal{O}=\mathbb{Z}_p[\zeta]\$ と表記することにしましょう. 明白に, $\ \mathcal{O}\$ の単数群は \begin{align} \mathcal{O}^{\times}=\{x\in\mathcal{O}\mid |x|_{\pi}=1\} \end{align} と書かれる集合に当たり, あらゆる $\ x\in K\$ は, 一意に \begin{align} x=\pi^nu,\quad n\in\mathbb{Z},\ u\in\mathcal{O}^{\times} \end{align} のような形式で表すことができます. \begin{align} \begin{array}{ccc} k & \subset & K \\ \cup & & \cup \\ \mathscr{O} & \subset & \mathcal{O} \end{array} \end{align}

𝒑 進対数

　§ 1.3.1　 $\ p\$ 進絶対値や $\ \pi\$ 進絶対値を基に極限や無限級数の収束, 発散を考察すれば, 遥かに実数よりも扱いよい性質が数多く発見されますが, その根源を尋ねると, 悉ことごとく強三角不等式 (§ 1.2.2 $\ (3)$ ) の与あずかりがあることに気が付きます. $\ (a_n)\$ を $\ \pi\$ 進数の数列とするとき, 無限級数 $\ \sum_{1\leqslant n}a_n\$ が収束することは, $\ \pi\$ 進数の集合における \begin{align} \lim{a_n}=0 \end{align} と同値であり, また実数の集合における \begin{align} \lim|a_n|_{\pi}=0 \end{align} と同値であり, \begin{align} \lim v_{\pi}(a_n)=\infty \end{align} とも同値であります. このように, 実数や複素数よりも強力な級数の収束判定法を用いることができるのであります.

　§ 1.3.2　判定法によると, \begin{align} \exp_p(x)=\sum_{0\leqslant n}\frac{x^n}{n!},\quad|x|_{\pi}\lt p^{-1/(p-1)} \end{align} および \begin{align} \log_p(1-x)=-\sum_{1\leqslant n}\frac{x^n}{n},\quad|x|_{\pi}\lt1 \end{align} の無限和は, 各区間にあって収束することが解ります. これを $\ \pi\$ 進指数, 対数と呼称します. 詰まり, 実数や複素数の解析学に知られた指数, 対数の級数展開に似せて, 新たに $\ \pi\$ 進数の無限和を導入しているのに他なりません.

　§ 1.3.3　ここで $\ K\$ の上の収束級数 $\ A=\sum_{0\leqslant n}a_n\$ と $\ B=\sum_{0\leqslant n}b_n\$ とに関して, その和および積の取りあつかいが詳細に解ると便利であるから, $\ A+B\$ および $\ AB\$ に当たる無限級数について, 平易に言及しておくことに致しましょう. 二個の級数が共に収束するならば, \begin{align} \sum_{0\leqslant n}(a_n+b_n) \end{align} という級数が $\ A+B\$ に収束し, \begin{align} \sum_{0\leqslant n}^n\sum_{0\leqslant l\leqslant n}^la_{l}b_{n-l} \end{align} が $\ AB\$ に収束します. 和の公式は実数や複素数等にも通ずる事実である一方, 積の公式の収束性は強三角不等式 (§ 1.2.2 $\ (3)$ ) に基づいています.

　§ 1.3.4　有名な形式的冪級数の等式*4により, 収束区間上で次の等式が成りたちます. \begin{align} &\exp_p(x+y)=\exp_p(x)\exp_p(y),\\ &\exp_p(\log_p(x))=\log_p(\exp_p(x))=x. \end{align} ここから, 二つの写像, $\ \exp_p\;\colon\;\pi^2\mathcal{O}\longrightarrow1+\pi^2\mathcal{O}\$ と $\ \log_p\;\colon\;1+\pi^2\mathcal{O}\longrightarrow\pi^2\mathcal{O}\$ とは互いに逆写像の関係にあり, 一つ目の等式の反転に当たる \begin{align} \log_p(xy)=\log_p(x)+\log_p(y) \end{align} が成立します. この式は対数という概念の真まことに象徴的な性質でありますが, これよりも一般の場合や, 形式的冪級数を取りあつかう場合においては, 等号は必ずしも成りたたないという大前提に, よく注意を払わなければなりません.

Fibonacci 商

本記事においては, Peter Lombaers 氏の論文 [1] の部分的な内容を解説します. 主定理が初めて明らかにされた文献は Zhi-Wei Sun (孙智伟*5 $\ \!\!$ ) 氏と Roberto Tauraso 氏との共著論文 [7] であり, [1] は同じ級数を $\ p\$ 進対数を使ってより簡単に計算したものになります.

小定理の類似

　§ 2.1.1　二次方程式 $\ x^2=x+1\$ の二個の根を \begin{align} \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\quad\bar\phi=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{align} とし, $\ \phi\$ と整数との加法, 減法, 乗法によって造られる数の全体を, 次のように書きます. \begin{align} \mathbb{Z}[\phi]&=\mathbb{Z}+\phi\mathbb{Z}\\ &=\left\{\frac{x+y\sqrt{5}}{2}\;\middle|\;\begin{array}{c}x,\ y\in\mathbb{Z},\\x\equiv y\ \ (\mathrm{mod}.2)\end{array}\right\}. \end{align} この環の上で, 各整数 $\ n\$ にたいし, \begin{align} \phi^n=\frac{L_n+F_n\sqrt{5}}{2} \end{align} を充たす整数 $\ L_n\$ および $F_n\$ を定義しましょう. 等式 $\ \phi^{n+2}=\phi^{n+1}+\phi^n\$ に依れば, \begin{align} L_{n+2}=L_{n+1}+L_n,\quad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \end{align} の漸化式が成立し, 然も $\ L_0=2,\$ $L_1=1,\$ $F_0=0,\$ $F_1=1\$ であるから, 番号 $\ n\gt0\$ に対応する $\ L_n\$ および $\ F_n\$ は正の整数になります. 前者を Lucas 数列 (リュカ数列) といい, 後者を Fibonacci 数列 (フィボナッチ数列) といいます. 共役の式 $\ \bar\phi^n=(L_n-F_n\sqrt{5})/2\$ がこれと同時に成立するので, 二数列の一般項を表現する次の等式が得られます. \begin{align} L_n=\phi^n+\bar\phi^n,\quad F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\bar\phi^n). \end{align}

　§ 2.1.2　素数 $\ p\$ と番号 $\ i=1,\$ $2,\$ $\ldots\$ $p-1\$ にたいして, 全て二項係数 \begin{align} \binom{p}{i}=\frac{p!}{i!(p-i)!} \end{align} は $\ p\$ を素因子として持ち, あらゆる整数 (および $\ \mathbb{Z}[\phi]\$ の元) $x,\$ $y\$ に関して \begin{align} (x+y)^p\equiv x^p+y^p\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} であります. これに依れば, 正なる整数 $\ a\$ の $\ p\$ 乗を $\ p\$ によって割るとき, \begin{align} a^p&\equiv(1+1+\cdots+1)^p\\ &\equiv1+1+\cdots+1\equiv a\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} が成りたち, 負および零の整数にたいしてもまた $\ a^p\equiv a\$ になります. これが初等整数論に知られる Fermat の小定理 (フェルマの小定理) であります. このような剰余の $\ p\$ 乗 $\ a^p\ \mathrm{mod}.p\$ の公式を, $\ \mathbb{Z}\$ から $\ \mathbb{Z}[\phi]\$ の元に拡張することを次の目的と致しましょう.

　§ 2.1.3　今の状況を代数的に俯瞰して, $\ p\$ 乗の写像 $\ \varphi\;\colon\;\mathbb{Z}[\phi]\longrightarrow\mathbb{Z}[\phi];\$ $x\longmapsto x^p\$ を取りあげると, これは次の特性を示していることが確かめられます.
$\ (1)\$ つねに $\ \varphi(a+b)\equiv\varphi(a)+\varphi(b)\$ であり, かつ, $\ \varphi(ab)\equiv\varphi(a)\varphi(b)$ . また, $\ \varphi(1)\equiv1\$ である.
$\ (2)\$ $\ a\$ が有理整数であるならば, $\ \varphi(a)\equiv a\$ である.
故に, $\ a+b\phi\in\mathbb{Z}[\phi]\$ の $\ \varphi\$ による像は, \begin{align} \varphi(a+b\phi)\equiv a+b\varphi(\phi) \end{align} に表され, 式中の $\ \varphi(\phi)\ \mathrm{mod}.p\$ が如何いかなる値であるかが問題となります.

　§ 2.1.4　この問いを解決するときに際して, 環 $\ \mathbb{Z}[\phi]\$ に法 $\ p\$ を適用した剰余系, \begin{align} R=\mathbb{Z}[\phi]/p\mathbb{Z}[\phi] \end{align} の構造を調べ, その加法, 乗法に関する性質を考察しなければなりません.

　§ 2.1.5　先ず第一に, 二次方程式 \begin{align} x^2-x-1\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} が解 $\ x\equiv\rho_2,\$ $\rho_2\$ を持っている場合を考察します. 新たに写像 $\ f_1\;\colon\;R\longrightarrow\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\$ を定義して, \begin{align} f_1(x+y\phi\ \mathrm{mod}.p)=x+y\rho_1\ \mathrm{mod}.p \end{align} という対応関係に着目するとき,
$\ (1)\$ つねに $\ f_1(a+b)\equiv f_1(a)+f_1(b)\$ であり, かつ, $\ f_1(ab)\equiv f_1(a)f_1(b)$ . また, $\ f_1(1)\equiv1\$ であります.
同じように, もう一方の解を用いて, 写像 $\ f_2\;\colon\;R\longrightarrow\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\$ を \begin{align} f_2(x+y\phi\ \mathrm{mod}.p)=x+y\rho_2,\ \mathrm{mod}.p \end{align} のように定義するとしても, 前と同じ $\ (1)\$ の特徴が現れるのが判ります. 従って, $\ R\$ から $\ (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2\$ への二変数函数, \begin{align} g(a)=(f_1(a),f_2(a)),\quad a\in R \end{align} が $\ (1)\$ の性質をもつことになります. このように二本の写像の組をもって一本の写像とするならば, $\ g\$ による要素の結びつきは全単射 (即ち一対一の対応) をなし, 環 $\ R\$ の法則を詳らかに知るための充分な情報が手に入ります.
$\ (2)\$ つねに $\ g(ab)\equiv g(a)g(b)\$ であり, $\ g(1)\equiv(1,1)\$ である.
$\ (3)\$ 加えて連立方程式 \begin{align} \left( \begin{array}{l} x+y\rho_1\equiv c\\ \ \\ x+y\rho_2\equiv d,\quad c,\ d\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{array} \right. \end{align} はつねに唯一の解 $\ y\equiv h(c-d),\$ $x\equiv c-y\rho_1\$ を持つから, $\ g\$ は全単射である ( $h\$ は, $\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\$ における $\ \rho_1-\rho_2\$ の逆元を表す).
従って, $\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\$ 平面における等式 \begin{align} (\rho_1,\rho_2)^p\equiv(\rho_1,\rho_2)\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} に $\ g\$ を掛けた式から, \begin{align} \phi^p\equiv\phi\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} が得られます. すると $\ \varphi(\phi)\equiv\phi\ \ (\mathrm{mod}.p)\$ であって, 第一の場合は $\ p\$ 乗の写像と恒等函数 $\ \mathrm{id}(x)=x\$ の一致する結論が得られるのであります.

　§ 2.1.6　次に第二の場合として, \begin{align} x^2-x-1\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} に解がないことを仮定しますと, 剰余系 $\ R=\mathbb{Z}[\phi]/p\mathbb{Z}[\phi]\$ は前の場合と違い, 体の構造を成します. 何となれば, 各々の $\ a+b\phi\not\equiv0\$ にたいして, 共役にあたる $\ a+b\bar\phi\in R\$ を乗じると, \begin{align} (a+b\phi)(a+b\bar\phi)\equiv-(b^2-ab-a^2). \end{align} そのとき右辺に $\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\$ に属する $\ 0\$ でない剰余が見えるので, その逆元 $\ r\$ を取れば, $\ a+b\phi\$ に掛けて $\ 1\$ になる剰余 $\ r(a+b\bar\phi)\$ を確かめることができるからであります. $\ R\$ が体であるということは, $\ \phi^2=\phi+1\$ を累乗した式 $\ \varphi(\phi)^2\equiv\varphi(\phi)+1\$ から, \begin{align} \varphi(\phi)\equiv\phi\quad\mbox{または}\quad\bar\phi\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} となるのでありますが, 若しも仮に $\ \phi^p\equiv\phi\$ であったとすると, 合同方程式\begin{align} x^p-x\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} の解に $\ \phi\$ が現れなければなりません. 小定理によって \begin{align} x^p-x\equiv x(x-1)\cdots(x-(p-1))\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} が成立しますので, 左辺が $\ 0\$ に等しいためには $\ x\$ が $\ \{0,1,2,\ldots,p-1\}\$ の内の何れかの元であることを要します. 無論, $\ x=\phi\$ がこの条件に適合することはありません. $\ \varphi(\phi)\equiv\phi\$ でないとすれば, 必然として $\ \varphi(\phi)\equiv\bar\phi\$ になることでありましょう.

　§ 2.1.7　このように $\ \phi^p\$ の剰余とは, 二次合同式 \begin{align} x^2-x-1\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} あるいは \begin{align} (2x-1)^2\equiv5\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} の解の有無に依存して定まり, $\ 5\$ の平方根が $\ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\$ の内に存在するか否かを条件として決まるものであります. この二次合同式に解があるときは変数 $\ \epsilon=\epsilon_p\$ を $\ +1\$ と置き, 解のないときは $\ \epsilon=-1\$ を設けましょう (→平方剰余記号). そうしますと, 今の論理は \begin{align} \phi^p\equiv\frac{1+\epsilon\sqrt{5}}{2}\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} という一つの式に集約されます.

最終的に, 環 $\ R\$ の構造は次の通りになります. \begin{align} \mathbb{Z}[\phi]/p\mathbb{Z}[\phi]\cong\begin{cases}\mathbb{F}_{\!p}^2\ \ &(p\equiv\pm1\ \ (\mathrm{mod}.5))\\\mathbb{F}_{\!p^2}\ \ &(p\equiv\pm2\ \ (\mathrm{mod}.5))\\\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\quad&(p\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.5)).\end{cases} \end{align}

　§ 2.1.8　同様の理由によって $\ \bar\phi^p\equiv(1-\epsilon\sqrt{5})/2\$ が成立するため, \begin{align} L_p\equiv1,\quad F_p\equiv\epsilon\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} が得られます. これらの合同式を Lucas 数と Fibonacci 数に関する Fermat の小定理と称します. これらの他にも, \begin{align} 2L_{p+1}&\equiv1+5\epsilon,\\ 2F_{p+1}&\equiv1+\epsilon,\\ 2L_{p-1}&\equiv-1+5\epsilon,\\ 2F_{p-1}&\equiv1-\epsilon,\\ L_{p+\epsilon}&\equiv3\epsilon,\\ F_{p+\epsilon}&\equiv1,\\ L_{p-\epsilon}&\equiv2\epsilon,\\ F_{p-\epsilon}&\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} 等があり, どれも上の二つの合同式から導くことができます.

未解決問題 : Wall 予想

　§ 2.2.1　 $\ 2\$ 以上なる整数 $\ a\$ に関して, $\ a\$ の素因子を除く素数 $\ p\$ における \begin{align} q_p(a)=\frac{a^{p-1}-1}{p}\ \ \in\mathbb{Z} \end{align} の商を Fermat 商と呼びます. 取りわけ $\ a=2\$ の場合, $\ 2^{p-1}-1\$ がもう一度 $\ p\$ により割れて $\ p\mid q_p(2)\$ になるとき, $\ p\$ を Wieferich 素数 (ヴィーフェリッヒ素数) といい, 最小の二つの数である $\ p=1093\$ と $\ p=3511\$ との例が有名であります. この Fermat 商の話題に倣い, Lucas 数や Fibonacci 数についても \begin{align} q_p(L)=\frac{L_p-1}{p},\ \ q_p(F)=\frac{F_{p-\epsilon}}{p}\ \ \in\mathbb{Z} \end{align} という商を考えて, これが $\ p\$ の倍数になり得るか否かを論題にすることは極めて自然なことでありましょう. 整数 $\ q_p(F)\$ を Fibonacci 商といい, $\ p\mid q_p(F)\$ を充たす素数 $\ p\$ を Fibonacci-Wieferich 素数 *6といいます. Fibonacci-Wieferich 素数が (抑そもそも) 存在するか否かは当今未知の問題でありますが (→Wall 予想), 少なくとも $\ p\lt10^{14}\$ の範囲において, そのような素数は不在であることが検証されてあります (文献 [2]).

\begin{align} \begin{array}{c} \mbox{表 2. 　Fibonacci 商. }\\\ \\ \begin{array}{c|cccccccccc} p & 2 & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 \\\hline F_{p-1} & 1 & 1 & 3 & 8 & 55 & 144 & 987 & 2584 & 17711 & 317811 \\ F_p & 1 & 2 & 5 & 13 & 89 & 233 & 1597 & 4181 & 28657 & 514229 \\ F_{p+1} & 2 & 3 & 8 & 21 & 144 & 377 & 2584 & 6765 & 46368 & 832040 \\\hline F_{p-\epsilon}/p & 1 & 1 & 1 & 3 & 5 & 29 & 152 & 136 & 2016 & 10959 \end{array} \end{array} \end{align}

また, $\ q_p(F)\$ の法 $\ p\$ における剰余を Fibonacci 商として定義することも有ります.

　§ 2.2.2　若し Wall 予想が解決されると, 素数冪の法 $\ \mathrm{mod}.p^e\$ における Fibonacci 数列の周期長の等式 $\ k(p^{e+1})=p^ek(p)\$ や, 各 $\ F_n\$ にたいする $\ p\$ 進付値 $\ v_p(F_n)\$ の表示式, Fibonacci 数列に現れる累乗数の定理に, それを前提とした初等的証明が与えられることになります (文献 [3][4][5][6]).

主定理

　§ 2.3.1
　

　 $\ 2\$ と $\ 5\$ とを除きて
　あらゆる素数 $\ p\$ にたいして
　黄金商は有限の和に表示せらる

\begin{align}\frac{F_{p-\epsilon}}{p}\equiv\frac{\,1\,}{\,5\,}\!\sum_{0\lt n\lt p}\!\frac{(-1)^{n{-}1}}{n}\binom{2n}{n}\ \ (\mathrm{mod}.p)\end{align}
⸺中央二項係数から成りたつ上記の交代和は, 妖あやしくも, 至って自然な形式の内に Fibonacci 商を表し, 級数算術の妙々さを感じさせるものであります.

勿もち論ろんこの有限級数を $\ \mathrm{mod}.p\$ に依らずに簡約することは困難でありますが, 剰余に還元することによって, Fibonacci 数論における重要な商を引きいだすことができるのであります. 合同式が成立することの根幹的な理由は, 大凡おおよそ次の無限級数の等式に求めることができ, 更にこの等式の本もと居いの部分を探りますと, それは単なる対数函数の定義式を広げたものに過ぎないことが判ります. \begin{align} \log_p{\bigl(\mathrm{N}(1-\alpha)\bigr)}=-\sum_{1\leqslant n}\frac{\mathrm{Tr}(\alpha^n)}{n}. \end{align} ここに色々な $\ \alpha\in\mathscr{O}\$ を代入して, 各々の辺に $\ \mathrm{mod}.p\$ を適用すると, 幾種類もの有限級数の式を見つけることができます. 実数や複素数を項として級数の計算をおこなうときは, 大抵或ある無限和の収束値 $\ a_1+a_2+a_3+\cdots\$ からその部分和の値 $\ a_1+a_2+\cdots+a_N\$ を取りだすことをもって, 殆ほとんど不可能な計算と捉えるのであるけれども, 距離空間を $\ p\$ 進数や $\ \pi\$ 進数に移すならば, 事情異なり, 無限和を有限に戻すための手続きが用意されているのであります.

　§ 2.3.2　ここで, 形式的冪級数の計算によって \begin{align} \log{\Bigl(\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2}\Bigr)}=-\frac{\,1\,}{\,2\,}\sum_{1\leqslant n}\frac{x^n}{n}\binom{2n}{n} \end{align} なる等式を造ることができますが, $\ \pi\$ 進数体においても, また実数体においても, 級数が発散を起こすために $\ x=-1\$ を代入することはできません (詳細は略).

証明

　§ 3.1　 $\ \alpha\$ を $\ |\alpha|_{\pi}\lt p^{-1/(p-1)}\$ の範囲の $\ \pi\$ 進数として, 次の等式を証明しましょう. \begin{align} \log_p{\bigl(\mathrm{N}(1-\alpha)\bigr)}=-\sum_{1\leqslant n}\frac{\mathrm{Tr}(\alpha^n)}{n}. \end{align} $\ \alpha=\pi^2\beta\$ $(\beta\in\mathcal{O})\$ と置けば, 各整数 $\ j\$ にたいする $\ \sigma^j\alpha\$ は $\ (1-\zeta^j)^2\$ によって割りきれ, 従って $\ \pi^2\$ の倍元になるから, $\ 1-\mathrm{N}(1-\alpha)\$ は $\ \pi^2\mathcal{O}\$ に属し, その対数が定義されます. これに基づいて $\ \mathrm{N}(1-\alpha)\$ を右辺の形に変えることは, 決して複雑な操作ではありません. $$ \begin{array}{cl} &\displaystyle\log_p{\bigl(\mathrm{N}(1-\alpha)\bigr)}\\ =\!\!\!\!\!\!\;&\displaystyle\log_p\prod_{0\lt j\lt p}\left(1-\sigma^j\alpha\right)\\ =\!\!\!\!\!\!\;&\displaystyle\sum_{0\lt j\lt p}\log_p{\left(1-\sigma^j\alpha\right)}\\ =\;\!\!\!\!\!\!&\displaystyle-\sum_{1\leqslant n}\frac{\mathrm{Tr}(\alpha^n)}{n}. \end{array} $$ この $\ \alpha\$ に \begin{align} \alpha_0=-(1-\zeta)(1-\zeta^{-1})=\pi^2/\zeta \end{align} を代入して, 各辺に置かれたノルムおよびトレースの簡約をおこなうことを次の目標と致しましょう.

　§ 3.2　先ず $\ 1-\alpha_0\$ のノルムに関して, \begin{align} &\mathrm{N}(1-\alpha_0)\\ =\;&\mathrm{N}(3-\zeta-\zeta^{-1})\\ =\;&\mathrm{N}(\zeta-3+\zeta^{-1})\\ =\;&\mathrm{N}(\zeta^2-3\zeta+1)\\ =\;&\mathrm{N}(\zeta^4-3\zeta^2+1)\\ =\;&\mathrm{N}({(\zeta^2-\zeta-1)(\zeta^2+\zeta-1)})\\ =\;&\mathrm{N}(\zeta^2-\zeta-1)^2. \end{align} 二乗を外して計算すると, \begin{align} &\mathrm{N}(\zeta^2-\zeta-1)\\ =\;&\mathrm{N}({(\phi-\zeta)(\bar\phi-\zeta)})\\ =\;&\frac{\phi^p-1}{\phi-1}\frac{\bar\phi^p-1}{\bar\phi-1}\\ =\;&\phi^p+\bar\phi^p=L_p. \end{align} 以上によって, \begin{align} \mathrm{N}(1-\alpha_0)=L_p^2 \end{align} が得られました.

　§ 3.3　次にトレースの式を整理すれば,

\begin{align} &\mathrm{Tr}(\alpha_0^n)\\ =\;&\sum_{0\lt j\lt p}(1-\zeta^j)^{2n}\zeta^{-jn}\\ =\;&\sum_{0\leqslant j\lt p}(1-\zeta^j)^{2n}\zeta^{-jn}\\ =\;&\sum_{0\leqslant j\lt p}\zeta^{-jn}\sum_{0\leqslant i\leqslant 2n}\binom{2n}{i}\zeta^{ij}(-1)^i\\ =\;&\sum_{0\leqslant j\lt p}\sum_{0\leqslant i\leqslant 2n}\binom{2n}{i}(-1)^i\zeta^{(i-n)j}\\ =\;&\!\!\!\sum_{\substack{0\leqslant i\leqslant 2n\\i\equiv n\ \ (\mathrm{mod}.p)}}\!\!\!\binom{2n}{i}(-1)^ip\\ =\;&\sum_{|k|\leqslant n/p}\binom{2n}{n+kp}(-1)^{n+k}p\\ =\;&\binom{2n}{n}(-1)^np+2\sum_{0\lt k\leqslant n/p}\binom{2n}{n+kp}(-1)^{n+k}p. \end{align}

特に $\ 0\lt n\lt p\$ の場合, 上式は \begin{align} \mathrm{Tr}(\alpha_0^n)=\binom{2n}{n}(-1)^np \end{align} にまで約つづまります.

　§ 3.4　扨さて, 既に示しましたように \begin{align} \log_p{\bigl(\mathrm{N}(1-\alpha_0)\bigr)}=-\sum_{1\leqslant n}\frac{\mathrm{Tr}(\alpha_0^n)}{n} \end{align} の式が成立しています. 各辺を無限和のまま簡約することは難しいので, これらを部分和に変えることを試みるべきであります. 無限級数の定義に依れば, 或る大整数 $\ N\$ において

\begin{align} \left|\sum_{1\leqslant n\leqslant N}\left(\frac{(\mathrm{N}(1-\alpha_0)-1)^n}{n}+\frac{\mathrm{Tr}(\alpha_0^n)}{n}\right)\right|_{\pi}\lt p^{-2} \end{align}

の不等式が成りたちます. 絶対値の中にある内容は有理数でありますが, 抑も $\ \mathscr{O}\$ の上で有理数が $\ \pi^{2(p-1)}$ , 即ち $\ p^2\$ によって割りきれるときには, 有理数体においても, その既約分数の分子が $\ p^2\$ により整除されなければなりません. 故に,

\begin{align} \sum_{1\leqslant n\leqslant N}\left(\frac{(\mathrm{N}(1-\alpha_0)-1)^n}{n}+\frac{\mathrm{Tr}(\alpha_0^n)}{n}\right)\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.p^2). \end{align}

不要な項を取りはらうために, 各項の $\ p\$ 進付値を評価すると, \begin{align} &v_p\left(\frac{(\mathrm{N}(1-\alpha_0)-1)^n}{n}\right)\\ =\;&nv_p(L_p^2-1)-v_p(n)\\ \geqslant\;&n-v_p(n)\\ \geqslant\;&2\quad(n\geqslant2) \end{align} および, \begin{align} &v_p\left(\frac{\mathrm{Tr}(\alpha_0^n)}{n}\right)\\ =\;&\frac{1}{p-1}v_{\pi}\left(\mathrm{Tr}(\alpha_0^n)\right)-v_p(n)\\ \geqslant\;&\frac{n}{p-1}v_{\pi}(\alpha_0)-v_p(n)\\ =\;&\frac{2n}{p-1}-v_p(n)\\ \gt\;&1\quad(n\geqslant p) \end{align} の結果が得られるので, \begin{align} \mathrm{N}(1-\alpha_0)-1\equiv-\sum_{0\lt n\lt p}\frac{\mathrm{Tr}(\alpha_0^n)}{n}\ \ (\mathrm{mod}.p^2). \end{align} 言いかえれば, \begin{align} L_p^2-1\equiv p\sum_{0\lt n\lt p}\frac{(-1)^{n{-}1}}{n}\binom{2n}{n}\ \ (\mathrm{mod}.p^2). \end{align} $\ L_p\equiv1\ \ (\mathrm{mod}.p)\$ でありますから, 最後は \begin{align} \frac{L_p-1}{p}\equiv\frac{\,1\,}{\,2\,}\sum_{0\lt n\lt p}\frac{(-1)^{n{-}1}}{n}\binom{2n}{n}\ \ (\mathrm{mod}.p) \end{align} の合同式に到達します.

　§ 3.5　 $\ m\$ および $\ n\$ を任意の整数とし, $\ \phi^{m+n}=\phi^m\phi^n\$ および $\ \phi^n\bar\phi^n=(-1)^n\$ という等式に二つの数列の定義に当たる式を代入しますと, 次の恒等式が得られます. \begin{align}&2L_{m+n}=L_mL_n+5F_mF_n,\\&2F_{m+n}=L_mF_n+F_mL_n,\\&L_n^2-5F_n^2=4(-1)^n. \end{align} 特に $\ n=p-\epsilon\$ である場合, \begin{align} L_{p-\epsilon}^2\equiv4\ \ (\mathrm{mod}.p^2) \end{align} 即ち \begin{align} L_{p-\epsilon}\equiv2\epsilon\ \ (\mathrm{mod}.p^2). \end{align} これに依ると \begin{align} 2L_p&=L_{\epsilon}L_{p-\epsilon}+5F_{\epsilon}F_{p-\epsilon}\\&\equiv2+5F_{p-\epsilon}\ \ (\mathrm{mod}.p^2) \end{align} でありますから, \begin{align} 2\frac{L_p-1}{p}\equiv5\frac{F_{p-\epsilon}}{p}\ \ (\mathrm{mod}.p). \end{align} 故に, \begin{align} \frac{F_{p-\epsilon}}{p}\equiv\frac{\,1\,}{\,5\,}\sum_{0\lt n\lt p}\frac{(-1)^{n{-}1}}{n}\binom{2n}{n}\ \ (\mathrm{mod}.p). \end{align} かくして定理は証明されるのであります.

　§ 3.6　本記事においては $\ \mathrm{mod}.p\$ の有限級数のみを取りあつかったのでありますが, これを拡張して, $\ \mathrm{mod}.p^2\$ の合同式を得ることができます. 詳細につきましては文献 [1] をご参照下さい.

文献

[1] P. Lombaers, "Generalizations of Wolstenholme's Theorem via the $\ p$ -adic Logarithm", INTEGERS, Vol.20 (2020), #A42; pp.1-15; INTEGERS link.

[2] A.-S. Elsenhans & J. Jahnel, "The Fibonacci sequence modulo $\ p^2\$ – An investigation by computer for $\ p\lt 10^{14}$ " (2010), CoRR (arXiv); pp.1-27; arXiv link.

$\ p\lt10^{14}\$ の範囲における Fibonacci-Wieferich 素数を検索した方法と結果, および Wall 予想を言いかえた幾つかの同値命題が述べられている.

[3] D. D. Wall, "Fibonacci Series Modulo $\ m$ ", Amer. Math. Monthly, Vol.67 (1960), No.6; pp.525-532; JSTOR link.

$\ \mathrm{mod}.p^e\$ における Fibonacci 数の周期的性質, および Wall 予想が述べられている.

[4] T. Lengyel, "The Order of the Fibonacci and Lucas Numbers", Fibonacci Quart., Vol.33 (1995), No.3; pp.234-239; F.Q. link.

Fibonacci 数列の $\ p\$ 進付値の計算が詳細に述べられている.

[5] V. Andrejić, "On Fibonacci Powers", Publikacije Elektrotehničkog Fakulteta. Serija Matematika, No.17 (2006); pp.38–44; JSTOR link.

Wall 予想と Fibonacci 累乗数の関係が述べられている.

[6] Arpan Saha & C. S. Karthik, "A Few Equivalences of Wall-Sun-Sun Prime Conjecture" (2011), CoRR (arXiv); pp.1-11; arXiv link.

Wall の予想を言いかえた幾つかの同値命題が述べられている.

[7] Z. W. Sun & R. Tauraso, "New congruences for central binomial coefficients", Adv. in Appl. Math., Vol.45 (2010), No.1; pp.125-148; ScienceDirect link.

Fibonacci 商や Fermat 商を含む合同式が述べられている.

*1:ゼロによる除算は例外であるから考えない.

*2:多項式 $\ F(x)=1+x+\cdots+x^{p-1}\$ は有理数係数の範囲において既約であって, $\ \zeta\$ の最小多項式を成しているから, $\ \zeta\$ は $\ p-1\$ 次の無理数であり, $\ 1,\$ $\zeta,\$ $\ldots\$ $\zeta^{p-2}\$ は $\ \mathbb{Q}\$ 上線型独立である.