非負の整数 𝒏 にたいし, 線型漸化式によって定義される多項式列, \begin{align} (L_n)=2,\ x,\ x^2+2,\ x^3+3x,\ \ldots\\ A,\ B,\ xB+A,\ \ldots \end{align} に関して, 素数の法 𝒑 の下で, 𝑳𝒑 ≡ 𝒙ᵖ が成りたつ.

〔 Hasse-Minkowski の定理, 局所大域原理〕 有理数を係数とする (斉次対角) 二次方程式が非自明有理数解を持つことは, それがあらゆる素数 𝒑 について非自明 𝒑 進数解を有し, かつ非自明実数解を有することと同値である.

〔 Ostrowski の定理〕あらゆる有理数上の絶対値は, 自明なる絶対値, 符号無視の絶対値, 或る素数に対応する 𝒑 進絶対値の何れか一個と同値である.

〔 Gauss-Legendre の三平方和定理〕正の整数 𝒏 が三つの平方数の和に表されるための必要充分条件は, 𝒏 から 4 を成るべく多く抽出して 𝒏 = 4ᵏℓ と書いたときに, \begin{align} \ell\not\equiv7\ \ (\mathrm{mod}.8) \end{align} になることである.

〔 Gauss-Legendre の三平方和定理〕正の整数 𝒏 が三つの平方数の和に表されるための必要充分条件は, 𝒏 から 4 を成るべく多く抽出して 𝒏 = 4ᵏℓ と書いたときに, \begin{align} \ell\not\equiv7\ \ (\mathrm{mod}.8) \end{align} になることである.

原始的 ピタゴラス数は 三つ組の 正なる整数 𝒂, 𝒃, 𝒄 互いに素なる ものの中 \begin{align} a^2+b^2=c^2 \end{align} (アーの自乗足す ベーの自乗 エクアト・ケーの自乗) の式 満足するを いう名なり

問. 自然数の列 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... において隣接する平方数と立方数との対を凡て挙げよ.

ある数が二つまたはそれ以上の異なる方法によって二つの平方数に分割しうるとき, それは素数でなく, 二つ以上の因子の合成である. (L. Euler, 1749)

Fibonacci 数列の正の部分 \begin{align}1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots\end{align} に現れる平方数は 1 と 144 のみである.

整数 𝒂, 𝒃 によって記述される \begin{align} xx+yy+a=bxy \end{align} の形の不定方程式は, 「二次曲線を描く」ことによって必ず解決される.

あらゆる正整数 𝒏 に対して, 三辺の長さが \begin{align} F_nF_{n+3},\ 2F_{n+1}F_{n+2},\ F_{2n+3}\end{align} で与えられる三角形は直角三角形である.

三つの平方数を並べて構成することのできる等差数列には 1, 25, 49 を始めとする無数の例が存在するが, 相異なる四つの平方数が等差数列を成すことは有り得ない.

〔フェルマの二平方和定理, 直角三角形の基本定理〕 奇素数 𝒑 について, 𝒑 がある二つの平方数の和で表せることと 𝒑 が 4 で割って 1 余ることは同値である.

〔フィボナッチ数の判定式〕 正の整数 𝑁 に対して, 次の同値が成立する.5𝑁² ± 4 のうちいずれかが平方数 ⇔ 𝑁 はフィボナッチ数.

〔フィボナッチ数の判定式〕 正の整数 𝑁 に対して, 次の同値が成立する. 5𝑁² ± 4 のうちいずれかが平方数 ⇔ 𝑁 はフィボナッチ数.

〔フィボナッチ数の判定式〕 正の整数 𝑁 に対して, 次の同値が成立する. 5𝑁² ± 4 のうちいずれかが平方数 ⇔ 𝑁 はフィボナッチ数.