Arithmetica 算術ノート

初等論による二元二次の不定方程式の解法について

如何なる非平方数\ d\ と非零整数\ n\ についても, 不定方程式\ xx-dyy=n\ において主変数\ x,y\ 有理数上の適当な一次変換\ (x,y)\longmapsto(X,Y)\ を施すことによって, 対称式 \begin{align} XX+YY+a=bXY \end{align} を元の方程式に同値ならしめ, 整数解を保持させることが可能である. しかも, このような対称方程式は二次曲線の一般論を前提とした初等論によって必ず解決することができる.

 

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1, 1, 2, 3, 5, 8, ... から (3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), ... を生成する等式

あらゆる正整数\ n\ に対して, 三辺の長さが \begin{align} F_nF_{n+3},\ 2F_{n+1}F_{n+2},\ F_{2n+3}\end{align} であるような三角形は直角三角形である.
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「数学特化の情報共有サービス」Mathlog にて記事の執筆をしています. Lucas 数や Fibonacci 数の基本的な性質を紹介していますので, 宜しければそちらもご覧ください.

 

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Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften
und die $\mathbb{Z}$ahlentheorie ist die Königin der Mathematik.



漸化式$\ F_{i+2}=F_{i+1}+F_i\ $と初項$\ F_1=F_2=1\ $によって定義される整数列$\ (F_i)\ $を Fibonacci 数列と呼ぶ.

\begin{align} (F_i)_{i\gt0}=\;&1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,\ 233,\ 377,\ 610,\ 987,\ \\&1597,\ 2584,\ 4181,\ 6765,\ 10946,\ 17711,\ 28657,\ 46368,\ 75025,\ \ldots. \end{align}



ある整数の平方であるような数を平方数と呼ぶ.

\begin{align} (ii)_{i\geqslant0}=\;&0,\ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100,\ 121,\ 144,\ 169,\ 196,\ 225,\ 256,\ \\&289,\ 324,\ 361,\ 400,\ 441,\ 484,\ 529,\ 576,\ 625,\ \ldots. \end{align}



$\ 1\ $と自分自身のみを正約数に持つような正整数を素数と云う.

昇順で$\ i\ $番目に当たる素数を$\ p_i\ $と書くと

\begin{align} (p_i)=\;&2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47,\ 53,\ \\&59,\ 61,\ 67,\ 71,\ 73,\ 79,\ 83,\ 89,\ \ldots. \end{align}



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算 術 ノ ー ト

整数論, 特に Fibonacci 数や平方数に係る事柄, 面白いと感じた定理や問題, そして整数論における定理などについての記事を気ままに投稿します. 記事の内容に関する誤植や新しい発見など有りましたら, 私の Twitter アカウント (@Numerus_A) までご報告頂けますと幸いに思います.

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