Arithmetica

フィボナッチ数と平方数, 記数法.

Arithmetica 算術ノート

フィボナッチ商を表示する有限級数

フィボナッチ数列において, 第 𝒑 項の隣には必ず一個の 𝒑 の倍数が現れる. その項の番号を 𝒑 - ε とすれば, 法 𝒑 に従って, $$ \frac{F_{p-\epsilon}}p\equiv\frac{1}{\,5\,}\sum_1^{p-1}\frac{(-1)^{n-1}}n\binom{2n}n.$$

但だし, 𝒑 は 2 でも 5 でもない素数を表すものとします.

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フィボナッチ数論から見た平方剰余相互法則

非負の整数 𝒏 にたいし, 線型漸化式によって定義される多項式列, \begin{align} (L_n)=2,\ x,\ x^2+2,\ x^3+3x,\ \ldots\\ A,\ B,\ xB+A,\ \ldots \end{align} に関して, 素数の法 𝒑 の下で,  𝑳𝒑 ≡ 𝒙ᵖ が成りたつ.
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多変数二次の不定方程式について (4)  局所大域原理の証明

〔 Hasse-Minkowski の定理, 局所大域原理〕

有理数を係数とする (斉次対角) 二次方程式が非自明有理数解を持つことは, それがあらゆる素数 𝒑 について非自明 𝒑 進数解を有し, かつ非自明実数解を有することと同値である.

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多変数二次の不定方程式について (3)  𝒑 進数と実数について

〔 Ostrowski の定理〕
あらゆる有理数上の絶対値は, 自明なる絶対値, 符号無視の絶対値, 或る素数に対応する 𝒑 進絶対値の何れか一個と同値である.
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多変数二次の不定方程式について (2)  𝒑 進平方数, 三平方和定理

〔 Gauss-Legendre の三平方和定理〕
正の整数 𝒏 が三つの平方数の和に表されるための必要充分条件は, 𝒏 から 4 を成るべく多く抽出して 𝒏 = 4ℓ と書いたときに, \begin{align} \ell\not\equiv7\ \ (\mathrm{mod}.8) \end{align} になることである.
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ALIA VERITAS AD ALIAM SEMPER VIAM STERNIT
ひとつの真理の考究は, かならずまたひとつの真理への道を拓く


フィボナッチ数とは, 黄金比の冪を √5 を用いて表示したときに, 無理数部に現れる分数の二倍である.

\begin{align} (F_n)_{n\geqslant0}=\;&0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,\ 233,\ 377,\ 610,\ 987,\ \\&1597,\ 2584,\ 4181,\ 6765,\ 10946,\ 17711,\ 28657,\ 46368,\ 75025,\ \ldots. \end{align}



平方数とは, 或る整数の平方に等しい数である.

\begin{align} (n^2)_{n\geqslant0}=\;&0,\ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100,\ 121,\ 144,\ 169,\ 196,\ 225,\ 256,\ \\&289,\ 324,\ 361,\ 400,\ 441,\ 484,\ 529,\ 576,\ 625,\ \ldots. \end{align}



pic-Arithmetica

算 術 ノ ー ト

Arithmētica はラテン語の第一変化名詞で, 算術や初等的な整数論を意味します. 当ブログでは, 算術と整数論, 特にフィボナッチ数や平方数に関する事柄, 面白いと感じた問題, そして数論における定理について, 気ままに記事を投稿します. 記事の内容に関する誤植や新しい発見などが有りましたら, 私の Twitter アカウント (@Numerus_A) までご報告頂けますと幸いに思います.

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