Arithmetica

フィボナッチ数と平方数, 記数法.

Arithmetica 算術ノート

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フィボナッチ数の基礎等式 (1)　定義と一次の等式

フィボナッチ数 自由研究

四つの数列 \begin{align} &1,\ 3,\ 4,\ 7,\ 11,\ 18,\ \ldots\\ &1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ \ldots\\ &\phi^1,\ \phi^2,\ \phi^3,\ \phi^4,\ \phi^5,\ \phi^6,\ \ldots\\ &\Phi^1,\ \Phi^2,\ \Phi^3,\ \Phi^4,\ \Phi^5,\ \Phi^6,\ \ldots \end{align} は同一の三項間の漸化式に従う.

但し, \ \phi\ は黄金比\ \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\ であり, \ \Phi\ は二次の正方行列\ \begin{pmatrix}1\quad1\\1\quad0\end{pmatrix}\ です.

この連続記事では以下を目標として記します.

  • 黄金比や Lucas 数, Fibonacci 数を含む基礎的な等式を整理し, 等式どうしの間に存在する連関を捉える.
  • 二次の無理数や行列, 三角函数を用いた書きかえによって, 他の諸概念との類似性を捉える.



(2) の記事 : (準備中)

(3) の記事 : (準備中)



前提知識

二次方程式, 漸化式, 二次の行列 (最後の節のみ).

 

 

 

 (注　意) 本記事に登場する用語の中には, 元が不明である訳語や造語が含まれていることが有ります.  







定義

定義 1. 二次方程式\ xx=x+1\ の二つの解の内, 正のものを黄金比, 負のものを共役黄金比と呼んで\ \phi,\ \bar\phi\ に書きあらわす.

この二次方程式の代りに, 黄金比と共役黄金比を \begin{align} \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\quad\bar\phi=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{align} あるいは \begin{align} \phi+\bar\phi=1,\quad\phi\bar\phi=-1,\quad\phi>\bar\phi \end{align} という等式をもって定義することもできます.

黄金比には定義の通り\ \phi\phi=\phi+1\ という性質が有り, この両辺に\ \phi^n\ を掛けると \begin{align} \phi^{n+2}=\phi^{n+1}+\phi^n \end{align} という等式が得られ, 従って \begin{align} (\phi^i)_{i\geqslant0}=1,\ \phi,\ \phi\phi,\ \ldots \end{align} という等比数列には「一つ前の項と二つ前の項を足した和は次の項に等しい」という規則性が有ります. これは, 次に定義する Lucas 数列や Fibonacci 数列の有するものと同一の規則です.

定義 2. 下記の漸化式と初期値によって構成される二つの数列\ (L_i)_{i\in\mathbb{Z}}\ および\ (F_i)_{i\in\mathbb{Z}}\ を Lucas 数列, Fibonacci 数列と呼ぶ. \begin{align}\left(\begin{array}{l}L_0=2,\ L_1=1,\ L_{n+2}=L_{n+1}+L_n\\F_0=0,\ F_1=1,\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\end{array}\right..\end{align}
\begin{align}\begin{array}{c|ccccccccccccc}n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline{L_n}&2&1&3&4&7&11&18&29&47&76&123&199&322\\F_n&0&1&1&2&3&5&8&13&21&34&55&89&144\end{array}\end{align}
\begin{align}\begin{array}{c|ccccccccccccc}n&-12&-11&-10&-9&-8&-7&-6&-5&-4&-3&-2&-1&0\\\hline L_n&322&-199&123&-76&47&-29&18&-11&7&-4&3&-1&2\\F_n&-144&89&-55&34&-21&13&-8&5&-3&2&-1&1&0\end{array}\end{align}

以下, \ x_i,\ y_i,\ z_i\ などと書けば, それは\ \phi^i,\ \bar\phi^i,\ L_i,\ F_i\ など,  Fibonacci 数列の漸化式を充たす一般の数列を表すものとします. 詰まり, 数列\ (x_i),\ (y_i),\ (z_i)\ は次の集合の任意の元を表す記号として用いることにします.

\begin{align} \{(a_i)_{i\in\mathbb{Z}}\subset\mathbb{C}\mid a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\}. \end{align}

この集合は等式類の一般的な形を記述するために導入していますが, あくまでも曖昧な意味で遣うことを目的としたのであり, 一般化された数列についての説明は致しません.

定理 3. \ \phi\ と\ \sqrt{5}\ は何れも無理数である.

とても有名な事実ですが, 後に何度も繰りかえして使うことになります.

定義 4. 有理数\ a,\ b\ を使って\ a+b\sqrt{5}\ と書かれる実数\ \alpha\ に対して, その共役\ \overline{\alpha}\ を\ a-b\sqrt{5}\ として定義する.

\ a+b\sqrt{5}\ の形のあらゆる無理数\ \alpha,\ \beta\ と整数\ n\ に対して \begin{align} &\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta},\quad\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\,\overline{\beta}\\&\overline{n\alpha}=n\overline{\alpha},\quad\overline{\alpha^n}=\overline{\alpha}^n \end{align} が成立します. 共役を取る操作により, 例えば\ \phi^{n+2}=\phi^{n+1}+\phi^n\ という漸化式は\ \bar\phi^{n+2}=\bar\phi^{n+1}+\bar\phi^n\ に写されるので, これら二つの等式は共役な二数を一纏めにするという考え方によって,  同一視されるようになります. 本記事においては, 互いに共役な関係に在る二つの式は片方を省略することを原則としています.





一次等式類

一次等式　\ ax_n+by_n+cz_n+\cdots=0.\

例えば漸化式\ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\ や後述の相互関係式\ L_n=F_{n+1}+F_{n-1},\ 一般項\ F_n=(\phi^n-\bar\phi^n)/\sqrt{5}\ などが一次等式として挙げられます.



再帰性による証明

一次等式のみならず以降の二次等式においても重要となる三項間の帰納法について, 説明の代りに, 以下の具体例を通してその技法を紹介したいと思いいます.

命題 5. あらゆる整数\ n\ について, 等式\ L_n=F_{n+1}+F_{n-1}\ が成りたつ.

証明.「整数\ n\ に対してこの等式が成立する」という命題を\ P_n\ として, 三項間の帰納法を使用する.

先ず「\ P_n\ かつ\ P_{n+1}\ ならば\ P_{n+2}\ である」ことを確かめる. ある整数\ n\ において\ P_n\ と\ P_{n+1}\ が共に成立しているとき, これらに当る二つの等式 \begin{align} &(P_n\Longleftrightarrow)\quad L_n=F_{n+1}+F_{n-1},\\ &(P_{n+1}\Longleftrightarrow)\quad L_{n+1}=F_{n+2}+F_n \end{align} を合計して漸化式を用いることによって \begin{align} L_{n+2}=F_{n+3}+F_{n+1} \end{align} が得られる. これは\ P_{n+2}\ と同値であるから, 「\ P_n\ かつ\ P_{n+1}\ ならば\ P_{n+2}\ である」ことが証明された.
続いて「\ P_n\ かつ\ P_{n-1}\ ならば\ P_{n-2}\ である」ことを確かめる. ある整数\ n\ において\ P_n\ と\ P_{n-1}\ が共に成立しているとき, これらに当る二つの等式 \begin{align} &(P_n\Longleftrightarrow)\quad L_n=F_{n+1}+F_{n-1},\\ &(P_{n-1}\Longleftrightarrow)\quad L_{n-1}=F_n+F_{n-2} \end{align} について, 第一式から第二式をさし引き, 漸化式を用いることによって \begin{align} L_{n-2}=F_{n-1}+F_{n-3} \end{align} が得られる. これは\ P_{n-2}\ と同値であるから, 「\ P_n\ かつ\ P_{n-1}\ ならば\ P_{n-2}\ である」ことが証明された.
加えて, \ P_0\ および\ P_1\ は\ L_0=F_1+F_{-1},\ \ L_1=F_2+F_0\ の通りに真であることが判る. 従って\ P_2\ は真であり, また\ P_{-1}\ も真である. 故に\ P_3\ も真であり, \ P_{-2}\ もまた真である. 同じように推論を続ければ, あらゆる整数\ n\ に対して\ P_n\ は真であることが得られ, 帰納法の原理によって等式の証明が完成する.

\Box

 

このように, 一次等式の証明は容易であり, 数列\ (x_i)\ の漸化式を用いれば\ n=0,\ 1\ の具体的な場合に帰結します. 然し実用するにさし当っては等式どうしの連関が極めて重要であるので, 帰納法による証明は最も基礎的な幾つかの等式に対してのみ行うように制限するべきであります.



漸化式

漸化式　\ x_{n+2}=x_{n+1}+x_n.\

\begin{align} \begin{array}{|c|c|}\hline (\phi^i) & \phi^{n+2}=\phi^{n+1}+\phi^n\\ (L_i) & L_{n+2}=L_{n+1}+L_n\\ (F_i) & F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\\\hline \end{array} \end{align}



符号の反転公式

符号の反転公式　\ x_{-n}=a(-1)^n\overline{x}_n.\

この形は\ (-1)^n\ が含まれるので一次等式に属しませんが, 本記事では\ (-1)^n\ は特別に\ n\ に依存しない定数と見なし, また\ x_{-n}\ も\ x_n\ と同じように扱うという立場を取ります. これは, Lucas 数列や Fibonacci 数列と, 他の三角函数などの諸対象との類似性をより明瞭にするための考え方です.

\begin{align} \begin{array}{|c|c|}\hline (\phi^i) & \phi^{-n}=(-1)^n\bar\phi^n\\ (L_i) & L_{-n}=(-1)^nL_n\\ (F_i) & F_{-n}=(-1)^{n-1}F_n\\\hline \end{array} \end{align} 第一行の式は, 二次方程式\ xx=x+1\ における解と係数の関係式\ \phi\bar\phi=-1\ から直ちに導かれます. それ以外の二式は, Lucas 数列および Fibonacci 数列が絶対値を取ると左右対称な数列になるという事実を含意しており, しかもその符号が交互に切りかわるという規則性をも意味しています. 直接の証明としては, 次のような計算を繰りかえす帰納法が明解です. あるいは黄金比についての\ \phi^{-n}=(-1)^n\bar\phi^n\ という等式に\ \phi^n\ の展開式 (後述) を代入することによっても導出ができます. \begin{align} &F_0=-F_0,\\ &F_{-1}=F_1,\\ &F_{-2}=F_0-F_{-1}=-F_0-F_1=-F_2,\\ &F_{-3}=F_{-1}-F_{-2}=F_1+F_2=F_3,\\ &F_{-4}=F_{-2}-F_{-3}=-F_2-F_3=-F_4,\\ &F_{-5}=F_{-3}-F_{-4}=F_3+F_4=F_5,\\ &\quad\vdots \end{align}

ここで少し補足をしておきます. 後述の一般項を用いて, Lucas 数列や Fibonacci 数列のインデックス (番号) に当る\ n\ の定義域を整数の全体から複素数の全体にまで拡張することができるのですが, そのような拡張の仕方に依ると, 例えば \begin{align} L_{-1/2}=-\sqrt{-1}L_{1/2},\quad F_{-1/2}=\sqrt{-1}F_{1/2} \end{align} といった等式が得られ上記の符号の反転公式との対応を取ることができません. このような視点においては, 確かに符号の反転公式は \begin{align} L_n=(-1)^nL_{-n},\quad F_n=-(-1)^nF_{-n} \end{align} と書かれるのが尤もらしいのでありましょうが, 元より複素数範囲への拡張は非重要だから, 整数範囲で使いなれている方の等式を紹介するのがよいと考えた次第です.



相互関係式, 一般項

相互関係式 (一般項) 　\ ax_n=by_n+c\overline{y}_n,\ \ ax_n=by_n+cy_{n-1},\ \ ax_n=by_{n+1}+cy_{n-1}.\

\begin{align} \begin{array}{|c|ccc|}\hline & (\phi^i) & (L_i) & (F_i) \\\hline (\phi^i) & & \sqrt{5}\phi^n=L_n\phi+L_{n-1} & \phi^n=F_n\phi+F_{n-1} \\ (L_i) & L_n=\phi^n+\bar\phi^n & & L_n=F_{n+1}+F_{n-1} \\ (F_i) & F_n=\dfrac{\phi^n-\bar\phi^n}{\sqrt{5}} & 5F_n=L_{n+1}+L_{n-1} & \\\hline \end{array} \end{align}

この表は, 各マスにおいて「左に在る数列」を「上に在る数列」によって表す方法を示しています. 各等式について, 詳しく解説します.

 

\ (1)\ \ \phi^n\ の展開式 (\ \phi\ 基準)　\ \sqrt{5}\phi^n=L_n\phi+L_{n-1},\ \ \phi^n=F_n\phi+F_{n-1}.\
先にも述べたように, 黄金比については\ \phi\phi=\phi+1\ という等式が成りたちます. これを利用して, より高次の三乗や四乗の数を\ \phi\ の一次式に書きくだすと, 

\begin{align} &\phi^2=\phi+1,\\ &\phi^3=\phi^2+\phi^1=2\phi+1,\\ &\phi^4=\phi^3+\phi^2=2\phi^2+\phi^1=3\phi+2,\\ &\phi^5=\phi^4+\phi^3=2\phi^3+\phi^2=3\phi^2+2\phi^1=5\phi+3,\\ &\quad\vdots \end{align}

のような計算ができ, 再帰的に一般式は\ \phi^n=F_n\phi+F_{n-1}\ であることが判ります. \ \sqrt{5}\phi^i\ を同じように計算してゆくと今度は Lucas 数が係数として現れ, もう一方の式が得られます. これらが黄金比の累乗の\ (1,\phi)\ を基準とした展開式であり, 少し後の処で, もう一種の展開式と合わせて再掲します.

加えて一つ, より技巧的な方法として, 漸化式を \begin{align} &L_{n+2}-\bar\phi L_{n+1}=\phi(L_{n+1}-\bar\phi L_n),\\ &F_{n+2}-\bar\phi F_{n+1}=\phi(F_{n+1}-\bar\phi F_n) \end{align} と変形することによって\ (L_{i+1}-\bar\phi L_i)\ および\ (F_{i+1}-\bar\phi F_i)\ が等比数列であることを得たあと, その一般項を考えて \begin{align} &L_{n+1}-\bar\phi L_n=\phi^n(L_1-\bar\phi L_0)=\sqrt{5}\phi^n,\\ &F_{n+1}-\bar\phi F_n=\phi^n(F_1-\bar\phi F_0)=\phi^n \end{align} を導くという方法が在ります. それぞれの式は両辺に\ \phi\ を掛け, \ n+1\ を\ n\ に擦りかえれば先に示した二つの等式と一致します.

 

\ (2)\ 一般項　\ L_n=\phi^n+\bar\phi^n,\ \ F_n=\dfrac{\phi^n-\bar\phi^n}{\sqrt{5}}.\
俗に Lucas 数列および Fibonacci 数列の一般項として知られている等式です. これらは, 黄金比の累乗の\ \phi\ 基準による展開式と, その共役である等式\begin{align} \left(\begin{array}{l} \sqrt{5}\phi^n=L_n\phi+L_{n-1}\\ -\sqrt{5}\bar\phi^n=L_n\bar\phi+L_{n-1} \end{array} \right. \quad \left( \begin{array}{l} \phi^n=F_n\phi+F_{n-1}\\ \bar\phi^n=F_n\bar\phi+F_{n-1} \end{array} \right. \end{align} をの差を取ることによって簡単に得られます. これらも一次等式の一種ですので, 当然ながら帰納法によっても証明することが可能です.

 

\ (3)\ 相互関係式　\ 5F_n=L_{n+1}+L_{n-1},\ \ L_n=F_{n+1}+F_{n-1}.\
Lucas 数列と Fibonacci 数列を観察すれば\ n\ が零に近い範囲での成立は自明であり, そこから帰納法を用いることによって証明がなされます. あるいは\ (1)\ で説明した黄金比の累乗の展開式を認めるならば, 黄金比に関する \begin{align} \phi^1+\phi^{-1}=\sqrt{5} \end{align} という等式に\ \sqrt{5}\phi^n\ と\ \phi^n\ をそれぞれ乗じて \begin{align} \left(\begin{array}{l} \sqrt{5}\phi^{n+1}+\sqrt{5}\phi^{n-1}=5\phi^n\\ \phi^{n+1}+\phi^{n-1}=\sqrt{5}\phi^n \end{array}\right. \end{align} を作り, \ \phi^n=F_n\phi+F_{n-1}\ などを代入することによって \begin{align} \left(\begin{array}{l} L_{n+1}\phi+L_n+L_{n-1}\phi+L_{n-2}=5F_n\phi+5F_{n-1},\\ F_{n+1}\phi+F_n+F_{n-1}\phi+F_{n-2}=L_n\phi+L_{n-1} \end{array}\right. \end{align} とする方法が在ります. この等式の各辺は, 有理数の部分と有理数に黄金比が掛けられた部分とに項が分別されており, \ \phi\ の係数どうしを集めて比較すれば相互関係式が現れていることが判ります. 次の項で説明する\ \phi^n=(L_n+F_n\sqrt{5})/2\ というもう一つの展開公式を使うなら, これらの二本の相互関係式は\ \phi^{n+1}+\phi^{n-1}=\sqrt{5}\phi^n\ という一本の等式から同時に導くこともできます. この相互関係式を \begin{align} 5F_n=2L_{n+1}-L_n,\quad L_n=2F_{n+1}-F_n \end{align} と変形すれば \begin{align} \begin{pmatrix}L_{n+1}\\F_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2&5/2\\1/2&1/2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}L_n\\F_n\end{pmatrix} \end{align} という等式が得られます. ベクトルを使って Lucas 数と Fibonacci 数を束ねると, こちらは等比列になるのですね.



φⁿ の展開公式

φⁿ の展開公式　\ a\phi^n=bx_n+cy_n\ (b\in\mathbb{Q},\ c\not\in\mathbb{Q}).\

\begin{align} \begin{array}{|c|c|}\hline (1,\phi) & \left(\begin{array}{l}\sqrt{5}\phi^n=L_n\phi+L_{n-1}\\\phi^n=F_n\phi+F_{n-1}\end{array}\right. \\\hline (1,\sqrt{5}) & \phi^n=\dfrac{L_n+F_n\sqrt{5}}{2}\\\hline \end{array} \end{align}

この表は, 黄金比の累乗を有理数\ a,\ b\ による\ a+b\phi\ および\ a+b\sqrt{5}\ の形に表した二式を並べたものです. 各等式について, 詳しく解説します.

 

\ (1)\ \ \phi^n\ の展開式 (\ \phi\ 基準)　\ \sqrt{5}\phi^n=L_n\phi+L_{n-1},\ \ \phi^n=F_n\phi+F_{n-1}.\
先述の項　一次等式 - 相互関係式, 一般項 - \ (1)\ 　に同じです.

 

\ (2)\ \ \phi^n\ の展開式 (\ \sqrt{5}\ 基準)　\ \phi^n=(L_n+F_n\sqrt{5})/2.\
黄金比にはもう一つ\ \phi=(1+\sqrt{5})/2\ という定義の仕方が有りました. これを用いて黄金比の二乗, 三乗を\ \sqrt{5}\ の一次式で書くことを考えると, 具体的に

\begin{align} &\phi^1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\\&\phi^2=\phi^1+\phi^0=\frac{3+\sqrt{5}}{2},\\ &\phi^3=\phi^2+\phi^1=\frac{4+2\sqrt{5}}{2},\\ &\phi^4=\phi^3+\phi^2=\frac{7+3\sqrt{5}}{2},\\ &\phi^5=\phi^4+\phi^3=\frac{11+5\sqrt{5}}{2},\\ &\phi^6=\phi^5+\phi^4=\frac{18+8\sqrt{5}}{2}, \\ &\quad\vdots \end{align}

のような計算ができ, 再帰的に一般式は\ \phi^n=(L_n+F_n\sqrt{5})/2\ であることが判ります. この等式と共役を組みにして和と差を考えますとまた二つの数列の一般項に到達します.

 

\ \phi\ 基準の式 (の Fibonacci 数を含む方) または\ \sqrt{5}\ 基準の式に \begin{align} \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\quad\sqrt{5}=2\phi-1 \end{align} を代入し, 相互関係式を適用すれば, 互いを行き来することができます.





行列表示

Lucas 数列および Fibonacci 数列の漸化式は, 行列の形で \begin{align} &\begin{pmatrix}L_{n+2}&L_{n+1}\\L_{n+1}&L_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}L_{n+1}&L_n\\L_n&L_{n-1}\end{pmatrix},\\ &\begin{pmatrix}F_{n+2}&F_{n+1}\\F_{n+1}&F_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix} \end{align} と書くこともでき, \begin{align} &\mathbf{L}_i=\begin{pmatrix}L_{i+1}&L_i\\L_i&L_{i-1}\end{pmatrix},\\ &\mathbf{F}_i=\begin{pmatrix}F_{i+1}&F_i\\F_i&F_{i-1}\end{pmatrix},\\&\Phi=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} \end{align} のように記号を振れば \begin{align} \mathbf{L}_{n+1}=\Phi\mathbf{L}_n,\quad\mathbf{F}_{n+1}=\Phi\mathbf{F}_n \end{align} という等比列のような式形に整理されます. 勿論この左辺の形を右辺の形に置きかえる操作を繰りかえせば \begin{align} &\mathbf{L}_n=\Phi^n\mathbf{L}_0=\Phi^n\begin{pmatrix}1&2\\2&-1\end{pmatrix},\\ &\mathbf{F}_n=\Phi^n\mathbf{F}_0=\Phi^n\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\Phi^n \end{align} という\ \Phi\ の冪による表示が得られます. ここから\ \mathbf{L}_i\ および\ \mathbf{F}_i\ の記号を無くすために, 二次の単位行列を\ I\ と置けば, 明らかに\ \mathbf{L}_i=L_i\Phi+L_{i-1}I,\ \ \mathbf{F}_i=F_i\Phi+F_{i-1}I\ が成立し, 記号をこちらに替えることができるので, 結局 \begin{align} \Phi^nB=&\;L_n\Phi+L_{n-1}I,\\ \Phi^n=&\;F_n\Phi+F_{n-1}I \end{align} の二式に達することになります (但し, 行列\ B\ は\ \mathbf{L}_0\ を書きなおしたものです). これらの式は既出の \begin{align} \sqrt{5}\phi^n=&\;L_n\phi+L_{n-1},\\ \phi^n=&\;F_n\phi+F_{n-1} \end{align} という等式に類似しており, \ \Phi\ や\ B\ という行列は黄金比\ \phi\ や平方根\ \sqrt{5}\ に対応しているのではないかという推量が働きますが, 実際に \begin{align} \Phi\Phi=\Phi+I,\quad BB=5I,\quad\Phi=\frac{I+B}{2} \end{align} といった等式が成りたつので, これらの類似性は確かであると言えます.

定義 6. 二次正方行列の二次方程式\ XX=X+I\ の解の内の二つ \begin{align} X=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}0&-1\\-1&1\end{pmatrix} \end{align} を\ \Phi,\ \overline\Phi\ と書く.
定義 7. 二次正方行列の二次方程式\ XX=5I\ の解の内の一つ \begin{align} X=\begin{pmatrix}1&2\\2&-1\end{pmatrix} \end{align} を\ B\ と書く.

この行列に\ B\ の記号を振っているのは, その見た目がなにとなく\ \sqrt{5}\ と似ているからです (似ています). 何かもっと好いアイデアが有りましたら教えてくださると幸いです.

定義 8. 二次正方行列\ X=(a,b;c,d)\ に対する共役を \begin{align} \overline{X}=(\det{X})X^{-1}=\begin{pmatrix}d&-b\\-{c}&a\end{pmatrix} \end{align} として定義する.

この定義に依れば, \begin{align} \overline{X+Y}=\overline{X}+\overline{Y},\quad\overline{XY}=\overline{Y}\,\overline{X} \end{align} が成立します. 以降も黄金比のときと同じく, 共役を取ることによって同一のものとなる二つの等式は何方か片方のみを書くようにします.

次の表は, 各恒等式に類似する行列等式を配列したものです.

\begin{align} \begin{array}{|r|l|}\hline \phi\phi=\phi+1 & \Phi\Phi=\Phi+I \\ \phi+\bar\phi=1 & \Phi+\overline{\Phi}=I \\ \phi\bar\phi=-1 & \Phi\overline{\Phi}=-I \\ \sqrt{5}\sqrt{5}=5 & BB=5I \\ \left(\begin{array}{l}\sqrt{5}\phi^n=L_n\phi+L_{n-1}\\\phi^n=F_n\phi+F_{n-1}\end{array}\right. & \left(\begin{array}{l}\Phi^nB=L_n\Phi+L_{n-1}I\\\Phi^n=F_n\Phi+F_{n-1}I\end{array}\right. \\ \phi^n=\dfrac{L_n+F_n\sqrt{5}}{2} & \Phi^n=\dfrac{L_nI+F_nB}{2} \\ \left(\begin{array}{l}L_n=\phi^n+\bar\phi^n \\ \sqrt{5}F_n=\phi^n-\bar\phi^n\end{array}\right. & \left(\begin{array}{l}L_nI=\Phi^n+\overline{\Phi}^n\\F_nB=\Phi^n-\overline{\Phi}^n\end{array}\right. \\\hline \end{array} \end{align}

対して次の表は, 行列との対応関係を前提としたさいに, 本質的に同等である等式を横に並べたものです. 右の列中の各等式を成分に直して計算すれば, 左の列の等式が得られます (尚, 両辺に\ B\ を乗じた式で成分を比較して得られる等式も, 左の列では併記しています. ).

\begin{align} \begin{array}{|r|l|}\hline \left(\begin{array}{l}L_{n+2}=L_{n+1}+L_n\\F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\end{array}\right. & \Phi^{n+2}=\Phi^{n+1}+\Phi^n \\ \left(\begin{array}{l}L_{n+2}=L_{n+1}+L_n\\F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\end{array}\right. & \left(\begin{array}{l}\Phi^nB=L_n\Phi+L_{n-1}I\\\Phi^n=F_n\Phi+F_{n-1}I\end{array}\right. \\ \left(\begin{array}{l}L_{-n}=(-1)^nL_n\\F_{-n}=-(-1)^{n}F_n\end{array}\right. & \Phi^{-n}=(-1)^n\overline{\Phi^n} \\ \left(\begin{array}{l}5F_n=2L_{n+1}-L_n\\L_n=2F_{n+1}-F_n\end{array}\right. & \mathbf{L}_n=B\mathbf{F}_n \\ \left(\begin{array}{l}2L_{n+1}=5F_n+L_n\\2L_{n-1}=5F_n-L_n\\2F_{n+1}=L_n+F_n\\2F_{n-1}=L_n-F_n\end{array}\right. & \Phi^n=\dfrac{L_nI+F_nB}{2} \\ \left(\begin{array}{l} L_n=L_{n+1}-L_{n-1}\\L_n=F_{n+1}+F_{n-1}\\5F_n=L_{n+1}+L_{n-1}\\F_n=F_{n+1}-F_{n-1} \end{array}\right. & \left(\begin{array}{l}L_nI=\Phi^n+\overline{\Phi}^n\\F_nB=\Phi^n-\overline{\Phi}^n\end{array}\right. \\\hline \end{array} \end{align}





(1) の記事の内容はここまでです. 続く (2), (3) の記事では, 二次の等式類や三角函数との類似性などについて解説したいと思います.





補足

扨て本文においては Fibonacci 数の計算に用いられる線型な恒等式を具体的に記したのであるが, モダンな代数的整数論の立場においては, 代わりに次のような説明がなされるであろう: 先ず, 複素数列から成りたつこの集合,

\begin{align} \{(a_i)_{i\in\mathbb{Z}}\subset\mathbb{C}\mid a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\} \end{align}

は, 数列の (一般項の) 加法およびスカラー倍について閉であり, 複素数をスカラーとする二次元のベクトル空間である. 例えば, 幾何数列の組 \begin{align} ({(\phi^i),(\bar\phi^i)}) \end{align} を基底とすることができる. また Lucas 数列と Fibonacci 数列とを用いた \begin{align} &({(\phi^i),(F_i)}),\ ({(\phi^i),(L_i)}),\ \\&({(L_i),(L_{i-1})}),\ ({(F_i),(F_{i-1})}) \end{align} なども基底として適合する.


加えて, 行列表示に現れた二次正方行列\ \Phi\ はある解釈の下では, \ \phi\ 倍函数, 即ち\ x\ に対して\ \phi x\ を与える函数に類似している. 二つの\ \mathbb{Q}\ 上のベクトル空間 \begin{align} \mathbb{Q}(\phi)&=\{a\phi+b\mid a,b\in\mathbb{Q}\},\\ \mathbb{Q}^2&=\left\{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\;\middle|\;a,b\in\mathbb{Q}\right\} \end{align} は, 対応関係, \begin{align} \varphi\;\colon\;\mathbb{Q}(\phi)\longrightarrow\mathbb{Q}^2;\ a\phi+b\longmapsto\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} \end{align} によって本質的に等価*1であるが, \ \mathbb{Q}(\phi)\ における一次函数\ f_{\phi}(x)=\phi x\ に対応する\ \mathbb{Q}^2\ 側の写像は, \ f_{\Phi}(\vec{x})=\Phi\vec{x}\ なるベクトルの一次変換である. 即ち, 写像 \begin{align} \begin{array}{ccc}\mathbb{Q}(\phi) & \stackrel{f_{\phi}}{\longrightarrow} & \mathbb{Q}(\phi) \\&&\\ a\phi+b & \longmapsto & (a+b)\phi+a \end{array} \end{align} が, 同型写像\ \varphi\ を通じて \begin{align} \begin{array}{cccc} \mathbb{Q}^2 & \stackrel{f_{\Phi}}{\longrightarrow} & \mathbb{Q}^2 \\&&\\ \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix} & \longmapsto & \begin{pmatrix}a+b\\a\end{pmatrix} \end{array} \end{align} に翻訳せられる. これを一つの可換図式に示すならば次の通りになる.

\ t\ は行列の転置であり, また線分\ -\ で集合と元の所属関係を表している. かくのごとき\ \Phi\ を写像\ f_{\phi}\ の表現行列と呼称する. ある与えられた規則の計算 (線型写像) を座標平面上の一次変換に翻訳しているところが「表現」という用語の本懐なのであって, ここに\ \mathbb{Q}^2\ 以外の空間を用いるのは, 話の意図が汲みとり辛くなるから悪い.


環論的にいうならば, 二つの環*2 \begin{align} \mathbb{Q}(\phi)&=\{a\phi+b\mid a,b\in\mathbb{Q}\},\\ \mathbb{Q}(\Phi)&=\{a\Phi+bI\mid a,b\in\mathbb{Q}\} \end{align} は, 環の同型と呼ばれる種の対応関係, \begin{align} \psi\;\colon\;\mathbb{Q}(\phi)\longrightarrow\mathbb{Q}(\Phi);\ a\phi+b\longmapsto a\Phi+bI \end{align} のために同じと見なすことが可能である. 





演習問題

問. 以下の等式が成立するように, 六個の定数\ a\ から\ f\ の値を定めよ. \begin{align} \left( \begin{array}{lllll} F_{n+2} & = & a\cdot F_{n+1} & + & b\cdot F_n \\ F_{n+1} & = & c\cdot F_n & + & d\cdot\phi^n \\ F_n & = & e\cdot\phi^n & + & f\cdot\bar\phi^n \end{array} \right.. \end{align}

 

\ a=1,\ b=1,\ c=\bar\phi,\ d=1,\ e=1/\sqrt{5},\ f=-1/\sqrt{5}.\

問. 一般項\ a_i=L_i/F_i\ によって定義される有理数列\ (a_i)_{i\gt0}\ について, \ a_{i+1}\ を\ a_i\ の有理式によって表し漸化式を構成せよ.

 

\ a_{i+1}=(a_i+5)/(a_i+1).\

問. あらゆる正の整数\ n\ についてこの等式が成立することを証明せよ. \begin{align} 5+11\sum_{i=1}^{i=n}F_{5i}=F_{5n+5}+F_{5n}. \end{align}
問. 指数法則の等式\ \phi^{7n}=(\phi^n)^7\ の両辺を有理数\ a,\ b\ による\ a\phi+b\ の形式に表すことによって, 等式
\begin{align} F_{7n}=13F_n^7+56F_n^6F_{n-1}+105F_n^5F_{n-1}^2+105F_n^4F_{n-1}^3+70F_n^3F_{n-1}^4+21F_n^2F_{n-1}^5+7F_nF_{n-1}^6 \end{align}
を導出せよ. 更に, この等式を用いて, Fibonacci 数列の第\ 8\cdot7^6\ 番目の項を素因子分解したときに現れる素因子\ 7\ の総数を計算せよ.

 

七個.





*1:即ち, \ \mathbb{Q}\ 上のベクトル空間として同型.

*2:この場合は, 体でもある.

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ALIA VERITAS AD ALIAM SEMPER VIAM STERNIT
ひとつの真理の考究は, かならずまたひとつの真理への道を拓く


フィボナッチ数とは, 黄金比の冪を √5 を用いて表示したときに, 無理数部に現れる分数の二倍である.

\begin{align} (F_n)_{n\geqslant0}=\;&0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,\ 233,\ 377,\ 610,\ 987,\ \\&1597,\ 2584,\ 4181,\ 6765,\ 10946,\ 17711,\ 28657,\ 46368,\ 75025,\ \ldots. \end{align}



平方数とは, 或る整数の平方に等しい数である.

\begin{align} (n^2)_{n\geqslant0}=\;&0,\ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100,\ 121,\ 144,\ 169,\ 196,\ 225,\ 256,\ \\&289,\ 324,\ 361,\ 400,\ 441,\ 484,\ 529,\ 576,\ 625,\ \ldots. \end{align}



pic-Arithmetica

算 術 ノ ー ト

Arithmētica はラテン語の第一変化名詞で, 算術や初等的な整数論を意味します. 当ブログでは, 算術と整数論, 特にフィボナッチ数や平方数に関する事柄, 面白いと感じた問題, そして数論における定理について, 気ままに記事を投稿します. 記事の内容に関する誤植や新しい発見などが有りましたら, 私の Twitter アカウント (@Numerus_A) までご報告頂けますと幸いに思います.

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