Arithmetica

フィボナッチ数と平方数, 記数法.

Arithmetica 算術ノート

フィボナッチ数を含む無限級数について (pdf)

Lucas 数や Fibonacci 数, 黄金比を含む無限和の計算方法について纏めました.

キーワード Lucas 数, Fibonacci 数, 黄金比, 無限級数

 

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プレヴュー





この pdf に載せた級数の中でも, 特に私が感慨深いと感じているものを幾つかご紹介します.

命題. \ \displaystyle\sum_{n\geqslant0}\tan^{-1}\left(\frac{\,1\,}{\,F_{2n+1}\,}\right)=\frac{\,\pi\,}{\,2\,}.\

この無限和は, Fibonacci 数と正接 (タンジェント) の間に成立する, とある簡潔な恒等式から発生するものです. 足し算の繰りかえしによって定義される算術的な Fibonacci 数と, 幾何的な背景を持つ正接比とが親密な関係にあるというのは, とても奥深く感じられる事実です.

命題. \ \displaystyle\sum_{n\geqslant1}\frac{\,1\,}{\,F_nF_{n+1}F_{n+2}F_{n+3}\,}=\frac{\,12-5\sqrt{5}\,}{\,4\,}.\

連続する四つの Fibonacci 数の積, \begin{align} F_nF_{n+1}F_{n+2}F_{n+3} \end{align} の逆数和を計算できてしまうというのが, この命題です. これは次の級数にも通ずるところですが, Fibonacci 数と四乗という指数には相性の好さが見うけられます.

命題. \ \displaystyle\sum_{n\geqslant3}\frac{\,(-1)^{n-1}\,}{\,F_n^4-1\,}=\frac{\,1\,}{\,18\,}.\

これもまた Fibonaci 数の四次式を含む級数です. \ (-1)^n\ を分子に掛けておくと, 収束値がシンプルな分数になるというのは, 何となく Fibonacci 数らしさを思わせるところがあります.

定理. \ \displaystyle\sum_{n\geqslant1}\frac{\,1\,}{\,F_{2^n}\,}=\frac{\,5-\sqrt{5}\,}{\,2\,}.\

先ず左辺の形がへんてこです. Fibonacci 数は凡そ指数のようなものですから, 指数の中に指数. 技巧的な計算法が様々あり, 導出から結果までの全部において一, 二を争う楽しさが潜んでいる無限和です.

命題. \ \displaystyle F_{n+1}=\sum_{m=0}^{m=n}\binom{n-m}{m}.\

最後の級数は有限和ですが, これは Fibonacci 数列の母函数と呼ばれるものを調べることによって得られます*1. 大した変哲も無い二項係数の和を計算すると, それが丁度 Fibonacci 数になるということを表しており, Pascal の三角形を書いて実際に足し算をすると, 面白みを体感することができます.





*1:もっと簡単に, 数学的帰納法を用いて証明するという方法も在るのですが, pdf においては, この等式が母函数の式から導出されることを強調して説明してあります.

[tex: ]


ALIA VERITAS AD ALIAM SEMPER VIAM STERNIT
ひとつの真理の考究は, かならずまたひとつの真理への道を拓く


フィボナッチ数とは, 黄金比の冪を √5 を用いて表示したときに, 無理数部に現れる分数の二倍である.

\begin{align} (F_n)_{n\geqslant0}=\;&0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,\ 233,\ 377,\ 610,\ 987,\ \\&1597,\ 2584,\ 4181,\ 6765,\ 10946,\ 17711,\ 28657,\ 46368,\ 75025,\ \ldots. \end{align}



平方数とは, 或る整数の平方に等しい数である.

\begin{align} (n^2)_{n\geqslant0}=\;&0,\ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 49,\ 64,\ 81,\ 100,\ 121,\ 144,\ 169,\ 196,\ 225,\ 256,\ \\&289,\ 324,\ 361,\ 400,\ 441,\ 484,\ 529,\ 576,\ 625,\ \ldots. \end{align}



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算 術 ノ ー ト

Arithmētica はラテン語の第一変化名詞で, 算術や初等的な整数論を意味します. 当ブログでは, 算術と整数論, 特にフィボナッチ数や平方数に関する事柄, 面白いと感じた問題, そして数論における定理について, 気ままに記事を投稿します. 記事の内容に関する誤植や新しい発見などが有りましたら, 私の Twitter アカウント (@Numerus_A) までご報告頂けますと幸いに思います.

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