1, 1, 2, 3, 5, 8, ... から (3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), ... を生成する等式

あらゆる正整数 𝒏 に対して, 三辺の長さが \begin{align} F_nF_{n+3},\ 2F_{n+1}F_{n+2},\ F_{2n+3}\end{align} で与えられる三角形は直角三角形である.

この記事では以下を目標として記します.

フィボナッチ数からピタゴラス数を生成する方法を数式のみで説明する.

前提知識

特に無し.

準備
- 等式の準備
フィボナッチ数列
ピタゴラス数
- 定義
- ピタゴラス数の構成

準備

数式中の下線や囲い枠は装飾のための記号です. 下線はその次の式変形が下線部に施されることを, 囲い枠はその中身が次の式変形における「主役」であることを表します.

文字変数を含む一般式は無視していただいても内容の理解には差しつかえ有りません.

等式の準備

\begin{align}\begin{array}{ll} 5^2-3^2 & =\;\begin{array}{|ccccc|}\hline1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\\1&1&&&\\1&1&\\1&1&&&\\\hline\end{array} \\ & =\;\begin{array}{|ccccc|}\hline1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\\\hline1&1&&&\\1&1&\\1&1&&&\\\hline\end{array} \\ & =\;\begin{array}{|ccccc|ccc|}\hline1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1\\&&&&&&&\\&&&&&&&\\&&&&&&&\\\hline\end{array} \\ & =(5+3)(5-3),\\ & \\ \underline{a}^2-b^2 & =\underline{((a-b)+b)^2}-b^2=\underline{(a-b)^2+b(a-b)}+(a-b)b\underline{\hspace{0pt}+\hspace{0pt}b^2-b^2} \\ & =a(a-b)+(a-b)b \\ & =a(a-b)+b(a-b) \\ & =(a+b)(a-b). \end{array}\end{align}

\begin{align}\begin{array}{ll} (6-2)^2+4\times6\times2 & =\;\begin{array}{|cccc|cc|}\hline1&1&1&1&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}\\1&1&1&1&&\\1&1&1&1&&\\1&1&1&1&&\\\hline&&&&&\\&&&&&\\\hline\end{array} \\ & \quad+\;\begin{array}{|cccc|cc|cc|}\hline&&&&&&&\\&&&&&&&\\&&&&&&&\\&&&&&&&\\\hline1&1&1&1&1&1&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}\\1&1&1&1&1&1&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}\\\hline&&&&&&&\\&&&&&&&\\\hline\end{array} \\ & \quad+\;\begin{array}{|cccc|cc|cc|}\hline\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}&1&1&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}\\&&&&1&1&&\\&&&&1&1&&\\&&&&1&1&&\\\hline&&&&1&1&&\\&&&&1&1&&\\\hline&&&&&&&\\&&&&&&&\\\hline\end{array} \\ & \quad+\;\begin{array}{|cccc|cc|cc|}\hline&&&&&&&\\&&&&&&&\\&&&&&&&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\&&&&&&&\\\hline1&1&1&1&1&1&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}\\1&1&1&1&1&1&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}\\\hline\end{array} \\ & \quad+\;\begin{array}{|cccc|cc|cc|}\hline\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}&\hspace{5.1pt}&1&1\\&&&&&&1&1\\&&&&&&1&1\\&&&&&&1&1\\\hline&&&&&&1&1\\&&&&&&1&1\\\hline&&&&&&&\\&&&&&&&\\\hline\end{array} \\ & =\;\begin{array}{|cccc|cc|cc|}\hline1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1\\\hline1&1&1&1&2&2&1&1\\1&1&1&1&2&2&1&1\\\hline1&1&1&1&1&1&&\\1&1&1&1&1&1&&\\\hline\end{array} \\ & =\;\begin{array}{|cccccc|cc|}\hline1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1\\\hline1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1&1&1&1\\\hline\end{array} \\ & =(6+2)^2, \\ & \\ (a-b)^2+4ab & =(a-b)^2+\underline{ab}+\underline{ba}+\underline{ab}+\underline{ba} \\ & =(a-b)^2+(a-b)b+b^2+b(a-b)+b^2+(a-b)b+b^2+b(a-b)+b^2 \\ & =\left((a-b)+b+b)((a-b)+b+b\right) \\ & =(a+b)^2. \end{array}\end{align}

フィボナッチ数列

定義

\begin{align} \begin{array}{llllllllllllll} 0,&1,&1,&2,&3,&5,&8,&13,&21,&34,&55,&89,&144,&\ldots,\\ &&&&&&&&&&&&& \\ \textbf{0},&&&&&&&&&&&&&\\ &\textbf{1},&&&&&&&&&&&&\\ 0\;+\!\!\!\!&1\;=\!\!\!\!&\textbf{1},&&&&&&&&&&&\\ &1\;+\!\!\!\!&1\;=\!\!\!\!&\textbf{2},&&&&&&&&&&\\ &&1\;+\!\!\!\!&2\;=\!\!\!\!&\textbf{3},&&&&&&&&&\\ &&&2\;+\!\!\!\!&3\;=\!\!\!\!&\textbf{5},&&&&&&&&\\ &&&&3\;+\!\!\!\!&5\;=\!\!\!\!&\textbf{8},&&&&&&&\\ &&&&&5\;+\!\!\!\!&8\;=\!\!\!\!&\textbf{13},&&&&&&\\ &&&&&&8\;+\!\!\!\!&13\;=\!\!\!\!&\textbf{21},&&&&&\\ &&&&&&&13\;+\!\!\!\!&21\;=\!\!\!\!&\textbf{34},&&&&\\ &&&&&&&&21\;+\!\!\!\!&34\;=\!\!\!\!&\textbf{55},&&&\\ &&&&&&&&&34\;+\!\!\!\!&55\;=\!\!\!\!&\textbf{89},&&\\ &&&&&&&&&&55\;+\!\!\!\!&89\;=\!\!\!\!&\textbf{144},&\\ &&&&&&&&&&&&&\ddots \end{array} \end{align}

\begin{align}\begin{array}{lll} F_0=0, & & \\ F_1=1, & & \\ & F_2=F_1+F_0, & F_2=1, \\ & F_3=F_2+F_1, & F_3=2, \\ & F_4=F_3+F_2, & F_4=3, \\ & F_5=F_4+F_3, & F_5=5, \\ & F_6=F_5+F_4, & F_6=6, \\ & \qquad\!\!\!\vdots & \qquad\!\!\!\vdots \\ & F_{n+2}=F_{n+1}+F_n & \qquad\!\!\!\vdots \\ & \qquad\quad\!\!\!\vdots & \end{array}\end{align}

平方和の等式

これから, 矢印は「次の変形でフィボナッチ数列の規則を適用する」ことを表しています. 次の行に目を移す前に, 計算結果がどのようになるか, 考えながら進んでみてください.

\begin{align}\begin{array}{ll} 2^2+1^2 & =\;\begin{array}{ccccc|c} &&&&&5\\&&&&&3\\&&\underline{1}&&&2\\&&\downarrow&1&&1\\&&&&&1\\\hline5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(2\times\underline{2}+1\times1) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccc|c}&&&&&5\\&&&&&3\\&&&&&2\\&\leftarrow&\underline{1}&\underline{1}&&1\\&&1&&&1\\\hline5&3&2&1&1&\times\end{array} \\ & \\ & \qquad(2\times1+\underline{2\times1+1\times1}) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccc|c}&&&&&5\\&&&&&3\\&&&&&2\\&1&&&&1\\&&1&&&1\\\hline5&3&2&1&1&\times\end{array} \\ & \\ & \qquad(2\times1+3\times1) \\ & \\ & =2+3 \\ =5, & \end{array}\end{align}

\begin{align}\begin{array}{ll} 3^2+2^2 & =\;\begin{array}{ccccccc|c}&&&&&&&13\\&&&&&&&8\\&&&&&&&5\\&&&\underline{1}&&&&3\\&&&\downarrow&1&&&2\\&&&&&&&1\\&&&&&&&1\\\hline13&8&5&3&2&1&1&\times\end{array} \\ & \\ & \qquad(3\times\underline{3}+2\times2) & \\ & =\;\begin{array}{ccccccc|c}&&&&&&&13\\&&&&&&&8\\&&&&&&&5\\&&&&&&&3\\&&\leftarrow&\underline{1}&\underline{1}&&&2\\&&&1&&&&1\\&&&&&&&1\\\hline13&8&5&3&2&1&1&\times\end{array} \\ & \\ & \qquad(3\times1+\underline{3\times2+2\times2}) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccc|c}&&&&&&&13\\&&&&&&&8\\&&&&&&&5\\&&&&&&&3\\&&\underline{1}&&&&&2\\&&\downarrow&1&&&&1\\&&&&&&&1\\\hline13&8&5&3&2&1&1&\times\end{array} \\ & \\ & \qquad(3\times1+5\times\underline{2}) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccc|c}&&&&&&&13\\&&&&&&&8\\&&&&&&&5\\&&&&&&&3\\&&&&&&&2\\&\leftarrow&\underline{1}&\underline{1}&&&&1\\&&1&&&&&1\\\hline13&8&5&3&2&1&1&\times\end{array} \\ & \\ & \qquad(\underline{3\times1+5\times1}+5\times1) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccc|c}&&&&&&&13\\&&&&&&&8\\&&&&&&&5\\&&&&&&&3\\&&&&&&&2\\&1&&&&&&1\\&&1&&&&&1\\\hline13&8&5&3&2&1&1&\times\end{array} \\ & \\ & \qquad(8\times1+5\times1) \\ & \\ & =8+5 \\ =13, & \\ & \\ \end{array}\end{align}

\begin{align} \begin{array}{ll} 5^2+3^2 & =\;\begin{array}{ccccccccc|c} &&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&8\\ &&&&\underline{1}&&&&&5\\ &&&&\downarrow&1&&&&3\\ &&&&&&&&&2\\ &&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&1\\\hline 34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(5\times\underline{5}+3\times3) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccc|c} &&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&5\\ &&&\leftarrow&\underline{1}&\underline{1}&&&&3\\ &&&&1&&&&&2\\ &&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&1\\\hline 34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(5\times2+\underline{5\times3+3\times3}) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccc|c} &&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&5\\ &&&\underline{1}&&&&&&3\\ &&&\downarrow&1&&&&&2\\ &&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&1\\\hline 34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(5\times2+8\times\underline{3}) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccc|c} &&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&5\\ &&&&&&&&&3\\ &&\leftarrow&\underline{1}&\underline{1}&&&&&2\\ &&&1&&&&&&1\\ &&&&&&&&&1\\\hline 34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(\underline{5\times2+8\times2}+8\times1) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccc|c} &&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&5\\ &&&&&&&&&3\\ &&\underline{1}&&&&&&&2\\ &&\downarrow&1&&&&&&1\\ &&&&&&&&&1\\\hline 34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(13\times\underline{2}+8\times1) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccc|c} &&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&5\\ &&&&&&&&&3\\ &&&&&&&&&2\\ &\leftarrow&\underline{1}&\underline{1}&&&&&&1\\ &&1&&&&&&&1\\\hline 34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(13\times1+\underline{13\times1+8\times1}) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccc|c} &&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&5\\ &&&&&&&&&3\\ &&&&&&&&&2\\ &1&&&&&&&&1\\ &&1&&&&&&&1\\\hline 34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(13\times1+21\times1) \\ & \\ & =13+21 \\ =34, & \end{array}\end{align}

\begin{align} \begin{array}{ll} 8^2+5^2 & =\;\begin{array}{ccccccccccc|c} &&&&&&&&&&&89\\ &&&&&&&&&&&55\\ &&&&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&&&13\\ &&&&&\underline{1}&&&&&&8\\ &&&&&\downarrow&1&&&&&5\\ &&&&&&&&&&&3\\ &&&&&&&&&&&2\\ &&&&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&&&1\\\hline 89&55&34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(8\times\underline{8}+5\times5) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccccc|c} &&&&&&&&&&&89\\ &&&&&&&&&&&55\\ &&&&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&&&8\\ &&&&\leftarrow&\underline{1}&\underline{1}&&&&&5\\ &&&&&1&&&&&&3\\ &&&&&&&&&&&2\\ &&&&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&&&1\\\hline 89&55&34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(8\times3+\underline{8\times5+5\times5}) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccccc|c} &&&&&&&&&&&89\\ &&&&&&&&&&&55\\ &&&&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&&&8\\ &&&&\underline{1}&&&&&&&5\\ &&&&\downarrow&1&&&&&&3\\ &&&&&&&&&&&2\\ &&&&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&&&1\\\hline 89&55&34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(8\times3+13\times\underline{5}) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccccc|c} &&&&&&&&&&&89\\ &&&&&&&&&&&55\\ &&&&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&&&5\\ &&&\leftarrow&\underline{1}&\underline{1}&&&&&&3\\ &&&&1&&&&&&&2\\ &&&&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&&&1\\\hline 89&55&34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(\underline{8\times3+13\times3}+13\times2) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccccc|c} &&&&&&&&&&&89\\ &&&&&&&&&&&55\\ &&&&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&&&5\\ &&&\underline{1}&&&&&&&&3\\ &&&\downarrow&1&&&&&&&2\\ &&&&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&&&1\\\hline 89&55&34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(21\times\underline{3}+13\times2) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccccc|c} &&&&&&&&&&&89\\ &&&&&&&&&&&55\\ &&&&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&&&5\\ &&&&&&&&&&&3\\ &&\leftarrow&\underline{1}&\underline{1}&&&&&&&2\\ &&&1&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&&&1\\\hline 89&55&34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(21\times1+\underline{21\times2+13\times2}) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccccc|c} &&&&&&&&&&&89\\ &&&&&&&&&&&55\\ &&&&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&&&5\\ &&&&&&&&&&&3\\ &&\underline{1}&&&&&&&&&2\\ &&\downarrow&1&&&&&&&&1\\ &&&&&&&&&&&1\\\hline 89&55&34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(21\times1+34\times\underline{2}) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccccc|c} &&&&&&&&&&&89\\ &&&&&&&&&&&55\\ &&&&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&&&5\\ &&&&&&&&&&&3\\ &&&&&&&&&&&2\\ &\leftarrow&\underline{1}&\underline{1}&&&&&&&&1\\ &&1&&&&&&&&&1\\\hline 89&55&34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(\underline{21\times1+34\times1}+34\times1) \\ & \\ & =\;\begin{array}{ccccccccccc|c} &&&&&&&&&&&89\\ &&&&&&&&&&&55\\ &&&&&&&&&&&34\\ &&&&&&&&&&&21\\ &&&&&&&&&&&13\\ &&&&&&&&&&&8\\ &&&&&&&&&&&5\\ &&&&&&&&&&&3\\ &&&&&&&&&&&2\\ &1&&&&&&&&&&1\\ &&1&&&&&&&&&1\\\hline 89&55&34&21&13&8&5&3&2&1&1&\times \end{array} \\ & \\ & \qquad(55\times1+34\times1) \\ & \\ & =55+34 \\ =89, & \end{array}\end{align}

\begin{align} \begin{array}{ll} \qquad\!\!\!\vdots & \\ & \\ F_{n+1}^2+F_n^2 & =F_{n+1}\underline{F_{n+1}}+F_nF_n \\ & =F_{n+1}F_{n-1}+\underline{F_{n+1}F_n+F_nF_n} \\ & =F_{n+1}F_{n-1}+F_{n+2}\underline{F_n} \\ & =\underline{F_{n+1}F_{n-1}+F_{n+2}F_{n-1}}+F_{n+2}F_{n-2} \\ & =F_{n+3}\underline{F_{n-1}}+F_{n+2}F_{n-2} \\ & \;\;\!\!\vdots \\ & =\begin{cases}F_{2n-1}\underline{F_3}+F_{2n-2}F_2\quad&(2\mid n)\\F_{2n}F_2+F_{2n-1}F_1\quad&(2\nmid n)\end{cases} \\ & =\begin{cases}F_{2n-1}F_1+\underline{F_{2n-1}F_2+F_{2n-2}F_2}\quad&(2\mid n)\\F_{2n}F_2+F_{2n-1}F_1\quad&(2\nmid n)\end{cases} \\ & =\begin{cases}F_{2n-1}F_1+F_{2n}F_2\quad&(2\mid n)\\F_{2n}F_2+F_{2n-1}F_1\quad&(2\nmid n)\end{cases} \\ & =\begin{cases}F_{2n-1}+F_{2n}\quad&(2\mid n)\\F_{2n}+F_{2n-1}\quad&(2\nmid n)\end{cases} \\ & =F_{2n+1}, & \\ \qquad\!\!\!\vdots & \\ & \\ \end{array}\end{align}

$\ F_n^2+F_{n+1}^2=F_{n+(n+1)}\$ と書いたほうが解りやすいかも知れません.

より一般的に言って $\ F_{m+n+1}=F_{m+1}F_{n+1}+F_mF_n\$ という等式 (加法定理) が成立し, 同様の方法によって再帰的に導くことができます.

平方差の等式

\begin{align}\begin{array}{ll} \underline{3}\times\underline{1} & =(2+1)\times(2-1) \\ & =2^2-1^2, \\ & \\ \underline{5}\times\underline{1} & =(3+2)\times(3-2) \\ & =3^2-2^2, \\ & \\ \underline{8}\times\underline{2} & =(5+3)\times(5-3) \\ & =5^2-3^2, \\ & \\ \underline{13}\times\underline{3} & =(8+5)\times(8-5) \\ & =8^2-5^2, \\ & \\ \qquad\!\!\!\vdots & \\ & \\ \underline{F_{n+3}}\times\underline{F_n} & =(F_{n+2}+F_{n+1})(F_{n+2}-F_{n+1}) \\ & =F_{n+2}^2-F_{n+1}^2, \\ & \\ \qquad\!\!\!\vdots & \\ & \\ \end{array}\end{align}

ピタゴラス数

定義

\begin{align} \begin{array}{rl} (3,4,5) & 3^2+4^2=5^2, \\ & \!(9+16=25) \\ & \\ (5,12,13) & 5^2+12^2=13^2, \\ & \!(25+144=169) \\ & \\ (8,15,17) & 8^2+15^2=17^2, \\ & \!(64+225=289) \\ & \\ (6,8,10) & 6^2+8^2=10^2, \\ & \!(36+64=100) \\ & \\ & \\ (a,b,c) & a^2+b^2=c^2. \\ & \end{array} \end{align}

ピタゴラス数の構成

以下, 記号 $\ A\longmapsto B\$ は「 $\ A\$ は $\ B\$ に変換される. 」という意味合いでつかっています.

$\ (1,1,2,3)\longmapsto(3,4,5),\$

\begin{align} \begin{array}{ll} (\mathop{\underline{3\times1}}\limits_{\mbox{平方差の等式}})^2+(2\times2\times1)^2 & =(2^2-1^2)^2+(2\times2\times1)\times(2\times2\times1) \\ & =(2^2-1^2)^2+4\times2^2\times1^2 \\ & =(\mathop{\underline{2^2+1^2}}\limits_{\mbox{平方和の等式}})^2 \\ & =5^2, \end{array} \end{align}

$\ (1,2,3,5)\longmapsto(5,12,13),\$

\begin{align} \begin{array}{ll} (\mathop{\underline{5\times1}}\limits_{\mbox{平方差の等式}})^2+(2\times3\times2)^2 & =(3^2-2^2)^2+(2\times3\times2)\times(2\times3\times2) \\ & =(3^2-2^2)^2+4\times3^2\times2^2 \\ & =(\mathop{\underline{3^2+2^2}}\limits_{\mbox{平方和の等式}})^2 \\ & =13^2, \end{array} \end{align}

$\ (2,3,5,8)\longmapsto(16,30,34),\$

\begin{align} \begin{array}{ll} (\mathop{\underline{8\times2}}\limits_{\mbox{平方差の等式}})^2+(2\times5\times3)^2 & =(5^2-3^2)^2+(2\times5\times3)\times(2\times5\times3) \\ & =(5^2-3^2)^2+4\times5^2\times3^2 \\ & =(\mathop{\underline{5^2+3^2}}\limits_{\mbox{平方和の等式}})^2 \\ & =34^2, \end{array} \end{align}

$\ (3,5,8,13)\longmapsto(39,80,89),\$

\begin{align} \begin{array}{ll} (\mathop{\underline{13\times3}}\limits_{\mbox{平方差の等式}})^2+(2\times8\times5)^2 & =(8^2-5^2)^2+(2\times8\times5)\times(2\times8\times5) \\ & =(8^2-5^2)^2+4\times8^2\times5^2 \\ & =(\mathop{\underline{8^2+5^2}}\limits_{\mbox{平方和の等式}})^2 \\ & =89^2, \\ & \\ &\;\;\!\!\vdots \\ & \end{array} \end{align}

$\ (F_n,F_{n+1},F_{n+2},F_{n+3})\longmapsto(F_{n+3}F_n,2F_{n+2}F_{n+1},F_{2n+3}),\$

\begin{align} \begin{array}{ll} (\mathop{\underline{F_{n+3}F_n}}\limits_{\mbox{平方差の等式}})^2+(2F_{n+2}F_{n+1})^2 & =(F_{n+2}^2-F_{n+1}^2)^2+(2F_{n+2}F_{n+1})\times(2F_{n+2}F_{n+1}) \\ & =(F_{n+2}^2-F_{n+1}^2)^2+4F_{n+2}^2F_{n+1}^2 \\ & =(\mathop{\underline{F_{n+2}^2+F_{n+1}^2}}\limits_{\mbox{平方和の等式}})^2 \\ & =F_{2n+3}^2, \\ & \\ &\;\;\!\!\vdots \\ & \end{array} \end{align}

このようにフィボナッチ数列の連続する項からピタゴラス数を構成することができましたが, これらはあくまでもピタゴラス数の一部分に過ぎず, 全部を列挙できている訳ではない, という点に注意してください.

Arithmetica

フィボナッチ数と平方数, 記数法.